1.2. Числовые характеристики случайных величин

Среднее значение, или математическое ожидание дискретной случайной величины, вычисляется по формуле

п

М[х] = тх =а=Ъ ХіРі , / J 23)

/=1

где xt — возможные значения случайной величины X;

Pi —вероятность появления /-го возможного значения случайной величины X.

Математическое ожидание является теоретической характеристикой случайной величины.

Эмпирической характеристикой случайной величины является эмпирическая средняя, вычисляемая по формуле

X = M4X]=Xrmi+X2'V''' + Xn'mn=ixr%, (1.24)

N /=1 N

или П

* / \ mi

где P (*/) = 'дР* — частота значений xt при N наблюдениях (испытаниях);

N = imi; i=l

mi — количество появлений значений xt при N наблюдениях.

Эмпирическая средняя случайной величины по мере увеличения испытаний (наблюдений) приобретает тенденцию стабилизироваться относительно постоянной величины — математического ожидания.

Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание определяется интегралом:

оо

(1.25)

М[Х\=а= f x-/(x)-dx.

—оо

Кроме математического ожидания на практике иногда приме-няются и другие характеристики положения, в частности медиана и мода случайной величины.

Медианой Me случайной величины называется такая величина, относительно которой равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины:

(1.26)

Р(Х> Me) = Р(Х< Me).

Медиану применяют в качестве характеристики ряда распределения в тех случаях, когда имеются очень большие колебания случайной величины.

Модой Мо дискретной случайной величины называется ее значение, обладающее наибольшей вероятностью. Для непрерывной случайной величины мода есть такое значение, которое отвечает максимальной плотности распределения.

В общем случае математическое ожидание, медиана и мода не совпадают. В частном случае при симметричном распределении все три характеристики положения случайной величины совпадают.

Для оценки степени разброса, рассеивания значений случайной величины относительно среднего вычисляют следующие характе-ристики:

дисперсию;

среднее квадратическое отклонение;

коэффициент вариации.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от своего математического ожидания:

(1.27)

Dx = o2x = М[{Х-тх)\

Чем больше дисперсия, тем в среднем больше отклонение значений случайной величины относительно математического ожидания, т. е. будет больше рассеивание случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле

Gx = ~тх)2 'P(xi)- (1.28)

/=1

Дисперсия непрерывной случайной величины равна:

оо

g2x = \ (x-mx)2-f(x)-dx. (1.29)

Наряду с дисперсией случайной величины, в качестве характе-ристики рассеивания случайной величины используется среднее квадратическое отклонение, которое равно положительному значению корня квадратного из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение имеет одинаковую размерность со случайной величиной, в этом состоит ее преимущество относительно дисперсии.

Эмпирические значения характеристик рассеивания вычисляют по формулам: дисперсия

л п л т-

а2х = (1.30)

среднее квадратическое отклонение

Для малых выборок, если число испытаний (наблюдений) не превышает N < 30, то характеристики рассеивания вычисляются по формулам: дисперсия

среднее квадратическое отклонение

азз)

Величины ol и gx показывают абсолютное отклонение от среднего значения случайной величины, что недостаточно характеризует уровень ее рассеивания. Относительной характеристикой рассеивания является коэффициент вариации, вычисляемый как отношение среднего квадратического отклонения и эмпирической средней

К = %.100%, (1.34)

х

или

К = (1.35)

х

Коэффициент вариации может использоваться для сравнения меры рассеивания (колеблемости) случайных величин, имеющих различную размерность.