Определение числовых характеристик случайной величины суммы выплат страховщика

Сумма выплат страховщика по данному виду страхования X скла-дывается из выплат Y, по всем договорам Жданного вида:

F —1

Убыток страховщика по /-му договору Y представляет собой случайную величину, которая распределена следующим образом:

если страховой случай не наступил, то выплата по /-мудоговору равна О,

если страховой случай наступил, то выплата по /-му договору может принять любое значение на промежутке от 0 до 5..

где .?. — страховая сумма по /-му договору.

Такое распределение можно получить с помощью произведения двух независимых случайных величин / и Z,

У = 1 , 7

где /,. — дискретная случайная величина, принимающая значение О, если страховой случай не наступил, и значение 1, если страховой случай наступил; Z, — непрерывная случайная величина, распределенная на промежутке от Одо 5. по некоторому закону распределения.

Случайная величина Jt является индикатором наступления страхового случая по /-му договору.

Будем полагать, что по одному договору может произойти не более одного страхового случая, вероятность наступления которого одинакова для всех договоров и равна д. Тогда эта случайная величина /-, может принимать значения}л —¦ 0 — страховой случай не насту- • пил — с вероятностью р, = 1 - gja = 1 — страховой случай наступил — с вероятностью рг = д.

Это можно записать следующим образом:

j Jva ^рг^Ф ' 1/fi =11 Сл =9)

Случайная величина J имеет следующие характеристики:

математическое ожидпние

MJi IE4 'h -J'n "A +Jn-Pi =i-?+o-u-?) = ?;

¦ дисперсия

Щ, -MJi)2 .pk =Ц, -MJJ2 к +ип • MJty Р2 =

^(l-q)1 -q + iO-q)1 ¦(]-<,)

среднеквадратическое отклонение

Щв

Случайная величина Z, характеризует размер выплаты при страховом случае. Эта величина может принимать любое значение на промежутке от Одо S„ где 5, — страховая сумма по /-мудоговору.

Закон распределения случайной величины на указанном промежутке

зависит,от вида риска и застрахованных объектов. В частности, для большинства массовых рисковых видов страхования характернр такое распределение, при котором вероятность наступления мелких ушербов выше вероятности крупных убытков. График плотности распределения в этом случае схематично представлен на рис. 26.3.

при страховом случае Величина ущерба (выплаты) г при страховом случае

Рис. 26.3. Схематичный график плотности распределения величины ущерба при страховом случае

Кроме того, поскольку мы имеем дело с массовым рисковым видом страхования, для которого характерны однородность застрахованных объектов и малый разброс в значениях страховых сумм, то можно принять допущение, что по всем страховым случаям ожидаемая величина ущерба (математическое ожидание) и среднеквадрати- ческое отклонение одинаковы и равны соответственно So и Дв.

Как уже отмечалось выше, случайная величина Г определяющая размер убытка (выплаты) по i-uy договору, равна произведению случайных величин Jt и Z;. Y, = J, • Z

Так как мы имеем дело с массовым рисковым видом страхования, то числовые характеристики {математическое ожидание и сред- неквадратическое отклонение) случайной величины Y-t одинаковы для всех договоров и равны соответственно тг и пг. Теперь для каждого из этих показателей можно вывести формулу. Поскольку величины У, и Z, являются независимыми (так как, например, на основе только факта наступления страхового случая нельзя сделать вывод о величине ущерба), то математическое ожидание величины У, равно произведению математических ожиданий J. и Z(, т.е.

/и, = МУГ = MJt • MZt = q-St.

Иными словами, ожидаемая величина выплаты по договору равна произведению вероятности наступления страхового случая на вероятную величину ущерба.

Дисперсия случайной величины У/ может быть найдена из следующего соотношения:

DV, =М$)-(МУ,У =M((J, Zy-WY,)1 = M(J2)-M(Z?)-(MYiy.

Математическое ожидание M(J?) определяется из равенства

DJ і =M(Jty-(MJ.)2.

Отсюда M(/f) = DJl +(MJ,)2 = q(]-q) + q1 = ?.

Аналогичным образом находится M(Zf):

М (Z~) = DZ, +(MZ,)2

В результате выражение для дисперсии величины Y, приобретает вид

DY, = М(У,2) M(Zf)-{MY,)2 =q (Rl +S;)-q2 ¦S;. Среднеквадратическое отклонение величины У, равно

1-дЛ

¦j «

Теперь мы можем оценить параметры распределения суммы убытков (выплат) страховщика тх и ст, в соответствии с полученными ранее формулами:

т, =N-my =N-Sr q\

N-

Вывод формулы для расчета нетто-ставки

Подставим полученные выражения для тх и сгЛ. в формулу для определения необходимой величины страхового фонда. Получаем соотношение

-q + -

"І

и =тх + сх(у) сjx=N St -q+сс(у) SB • q

Рассчитанного по данной формуле страхового фонда с вероятностью у% хватит на все выплаты. Теперь, зная величину необходимого фонда, можно найти нетто-ставку, обеспечивающую его создание.

Обозначим через S, — страховую сумму по j'-му договору; Р. — негто-премию по ;'-му договору; Т„ — нетто-ставку по данному виду страхования.

Страховой фонд по данному виду страхования формируется за счет нетто-премий, собранных по всем договорам данного вида:

Страховой фонд = Сумма нетто-премий по всем договорам.

В используемых обозначениях это можно записать следующим образом:-

Нетто-премия по /-му договору Р, равна произведению страховой суммы по данному договору на нетто-ставку:

Поскольку ко всем договорам применяется одинаковая нетто- ставка, то сумма нетто-премий будет определяться как произведение совокупной страховой суммы на нетто-ставку

N N N

f=i Щ 1=1

В СБОЮ очередь, совокупную страховую сумму можно представить как произведение средней страховой суммы по всем договорам S на количество договоров N:

Таким образом, величина страхового фонда равна произведению средней страховой суммы на количество договоров и на нетто-ставку.

u=S-N-TH.

Здесь необходимо сделать важное замечание. Поскольку расчет базовых тарифных ставок производится до заключения договоров, то размер страховой суммы по.

каждому договору неизвестен. Страховая сумма может принимать практически любое значение в пределах, ограниченных реальной стоимостью объектов и условиями страхования. Поэтому при расчете тарифных ставок размер страховой суммы по і'-му договору является случайной величиной. Эта случайная величина имеет свое математическое ожидание и дисперсию. Предположим, что дисперсия страховых сумм настолько мала, что ее можно не учитывать. Иными словами, будем считать, что страховые суммы по всем договорам одинаковы и равны средней страховой сумме:

5] - - S, - ... -,SPT - S.

Это допущение сделано, с тем чтобы упростить дальнейший вывод формулы для расчета нетто-ставки. На самом деле, поскольку речь идет о массовых видах страхования, то по определению предполагается малый разброс, а следовательно, и малая дисперсия страховых сумм. Поэтому при большом количестве договоров N такое допу-щение вносит незначительную погрешность. Однако в случаях, когда объем портфеля страховщика невелик или когда страховые суммы по договорам существенно отличаются друг от друга, необходимо использовать формулы для расчета нетто-ставок, учитывающие дисперсию страховых сумм. С учетом сделанного допущения нетто-ставку можно найти следующим образом

Подставляя в это соотношение выражение для величины страхового фонда, получаем общую формулу для расчета нетто-ставки

В этом выражении для нетто-ставки можно выделить две составляющие. Первое слагаемое обозначим через TQ и назовем основной частью нетто-ставки. Второе слагаемое называется рисковой надбавкой и обозначается Тр. Таким образом, формула для нетто-ставки принимает окончательный вид

т = т + т

где Т0 — основная часть нетто ставки, которая определяется по фор- ?

муле Та =—ї- q\ Тр — рисковая надбавка, рассчитываемая по формуле

1 н 'о

Существует вероятность (1 -•()% того, что сумма выплат страховщика превысит данную величину

С вероятностью 1% сумма выплат страховщика не превысит этой величины

Рис. 26.4. Графическая иллюстрация определения величины и составляющих страхового фонда

Обеспечивается основной частью нетто-прем ии

Величина страхового фонда, которой с вероятностью у% хватит на осуществление всех выплат

Аналогичную структуру имеет и нетто-премия: в ней также можно выделить основную часть и рисковую надбавку. Сумма основных частей иетто-премий обеспечивает 50%-ную гарантию неразорения страховщика. Оставшиеся (у — 50)% покрывает рисковая надбавка.

Указанные положения иллюстрируются на графике, представленном на рис. 26.4.

Кроме того, необходимо помнить о существовании небольшой вероятности того, что собранных нетто-премий не хватит на все выплаты, так как величина гарантии безопасности всегда меньше 100%'.

Всю последовательность проведенных нами действий по выводу формулы для расчета нетто-ставки по рисковым видам страхования можно • коротко представить следующим образом.

Страховщик предполагает сформировать страховой портфель, состоящий из большого количества договоров страхования.

Величина выплаты по каждому договору страхования является-74 случайной величиной. За редким исключением застрахованные объ-

екты, а следовательно, и случайные величины выплат по ним являются независимыми один от другого.

Сумма выплат по всему портфелю договоров равна сумме выплат по всем договорам. Следовательно, она также является случайной величиной.

Согласно центральной предельной теореме, сумма большого количества независимых случайных величин распределена по нор-мальному закону (закону распределения Гаусса). Теория вероятности позволяет определить параметры этого распределения на основе данных по случайным величинам, составляющим сумму.

Страховщик задает для себя уровень безопасности страховых операций у, представляющий собой вероятность, с которой он хочет быть уверен в том, что собранных нетто-премий хватит на все выплаты.

В соответствии с принятой степенью безопасности по закону распределения суммы убытков страховщик может найти величину выплат, которая с заданной вероятностью не будет превышена. В таком размере и необходимо сформировать страховой фонд.

Исходя из требуемого размера страхового фонда, определяется величина нетто-ставки, обеспечивающей его создание. Нетто-ставка по рисковым видам страхования состоит из основной части и рисковой надбавки. Основная часть нетто-ставки обеспечивает 50%-ную вероятность неразорения страховщика, а-оставшиеся (у - 50)% вероятности дает рисковая надбавка.

При выводе формулы для расчета нетто-ставок по массовым рисковым видам страхования мы использовали следующие допущения:

имеется большое количество однородных независимых за-страхованных рисков;

разброс страховых сумм по всем застрахованным рискам невелик;

псе договоры заключаются на одинаковый срок;

по одному договору может произойти не более одного страхового случая.

Определение числовых характеристик случайной величины суммы выплат страховщика

Еще по теме Определение числовых характеристик случайной величины суммы выплат страховщика: