<<
>>

§ 4. Случайные величины, случайные элементы.

4.1. Пусть (,F) и (R1,B(R1)) - измеримые пространства.

Определение. Действительная функция определенная (,F), принимающая значения в R1 называется F – измеримой или случайной величиной, если: B(R1) F (то есть, прообраз является измеримым множеством в ).

Если =(Rn,B(Rn)), то B(Rn) – измеримые функции называются борелевскими.

Простейшим примером случайной величины является

Определение. Случайная величина представимая в виде

(2)

где F называется дискретной.

Если число слагаемых в сумме в (2) конечно, то случайная величина называется простой.

Замечание. Случайная величина это некоторая характеристика эксперимента, результаты которого зависят от случая . Требование измеримости важно. Действительно, если на (,F) задана вероятностная мера Р и , то в этом случае можно говорить о вероятности события, состоящего в том, что значение случайной величины принадлежит борелевскому множеству В.

Определение. Вероятностная мера на (R,B(R)) с , B(R1), называется распределением вероятностей случайной величины на (R,B(R)).

Определение. Функция Р, где R1, называется функцией распределения случайной величины .

Замечание.Для дискретной случайной величины мера сосредоточена не более чем в счетном числе точек и может быть представлена в виде ,

где .

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна. Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если ,R1.

4.2. Вопрос: Когда функция обозначаемая является случайной величиной? Для этого надо проверить условие F для любого B(R1).

Лемма 7. Пусть e – некоторая система множеств такая, что (e)=B(R1). Для того, чтобы была F - измеримой необходимо и достаточно, чтобы F для всех e.

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Пусть D – система борелевских множеств , для которых F. Известно, что:

i), ii), iii)=.

Отсюда следует, что система D – является -алгеброй, значит DB(R1) и (e), следовательно D=B(R1).

Лемма 8. Пусть : R1R1 - борелевская функция, а - случайная величина. Тогда сложная функция (то есть ) - случайная величина.

Доказательство. Действительно

,

так как B(R1), B(R1).

Доказательство закончено.

Определение. Функция на (,F) со значениями в = называется расширенной случайной величиной, если: для B(R1) F.

Теорема 9. 1) Для любой случайной величины найдется последовательность простых случайных величин таких, что и при для всех .

2) Если случайная величина , то найдется последовательность простых случайных величин таких, что для всех .

Доказательство. Начнем с пункта 2). Положим , и

непосредственной проверкой, устанавливается, что для всех. Отсюда следует и доказательство пункта 1) так как можно представить в виде , где .

Теорема 10.Пусть - последовательность расширенных случайных величин и = . Тогда -расширенная случайная величина.

4.3. Определение. Пусть - случайная величина. Пусть множества из вида , B(R1) . Наименьшую -алгебру порожденную такими множествами называют -алгеброй, порожденной случайной величиной и обозначают ее через Fx.

Если - борелевская функция, то из леммы 7 следует, что - случайная величина, причем Fx - измерима. Оказывается, справедливо и обратное утверждение.

Теорема 11. (Бореля). Пусть –измеримая случайная величина. Тогда найдется борелевская функция : R1R1 такая, что , т.е. для каждого . (Докажите самостоятельно.)

4.4. Определение. Пусть (,F) и (E,e) - измеримые пространства. определенная на принимающая значения в E называется F/ e –измеримой функцией или случайным элементом (со значениями в E e F). (3)

Примеры случайных элементов:

1) Если (E, e) = (R1,B(R1)), то определение случайного элемента совпадает с определением случайной величины.

2) Пусть (E, e) = ( Rn,B(Rn)). Тогда случайный элемент называется n - мерным случайным вектором. Если - проекция Rn на -ую координату, то =, где . Ясно, что - обычные случайные величины. Действительно, для B(R1) R1,..,R1,R1R1}= (R1R1R1R1)F.

Определение. Упорядоченый набор случайных величин будет называться - мерным случайным вектором.

В соответствии с этим определением всякий случайный элемент со значениями в Rn будет - мерным случайным вектором. Справедливо обратное утверждение: всякий n- мерный случайный вектор = есть случайный элемент в Rn. Действительно, если B(R1),, то F, то наименьшая -алгебра, порожденная всеми совпадает с B(Rn). поэтому для B(Rn) F.

3) Пусть (E, e) = (RТ,B(RТ)), Т – подмножество числовой прямой. В этом случае всякий случайный элемент представим в виде с называется случайной функцией с временным интервалом Т.

4.5. Определение. Пусть R1. Совокупность называется случайным процессом с временным интервалом Т. Если , то - называется случайным процессом с дискретным временем или случайной последовательностью. Если , то - называется случайным процессом с непрерывным временем.

Определение. Пусть - случайный процесс. Для каждого функция - называется реализацией или траекторией процесса, соответствующего исходу .

Определение. Пусть - случайный процесс. Вероятностная мера Р на (RТ,B(RТ)) с PP,B(RТ) называется распределением вероятностей процесса Х.

Определение. Вероятностная мера PP, где B(Rn), , называется конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса , а n-мерная функция распределения , где , называется конечномерными функциями распределения процесса .

4.6. Определение. Пусть (,F,P) - вероятностное пространство и набор (e) - измеримых пространств, где - произвольное множество. Будем говорить, что- измеримые функции независимы в совокупности, если для любого конечного набора элементы - независимы, т.е. для PP.

Теорема 12. Для того, чтобы случайные величины были независимы в совокупности, необходимо и достаточно, чтобы для любого Rn , где . Докажите самостоятельно.

<< | >>
Источник: Теория случайных процессов. Лекция. 2017

Еще по теме § 4. Случайные величины, случайные элементы.:

  1. 3.2. Исследование влияния дополнительных погрешностей значений контролируемых параметров на величины ошибок первого и второго рода при косвенном контроле технического состояния ЛТС
  2. 4.3. Оценка качества алгоритма идентификации состояния сцены на основе энтропийого критерия
  3. 3.1. Нормальный закон распределения случайной величины
  4. Случайные (вероятностные) методы
  5. 1.1. Элементарные понятия о случайных событиях, величинах и функциях
  6. 1.3. Статистическая оценка законов распределения случайных величин
  7. 1.5. Выбор теоретического закона распределения случайной величины
  8. 4.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем
  9. "Принцип Маха", или пятый элемент рынка
  10. Случайные величины.
  11. Примечание 3 Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины
  12. 3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.
  13. 3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.