4.1. Теоретические основы метода
Этот метод заключается в воспроизведении исследуемого физи-ческого процесса при помощи вероятностной математической мо-дели и вычислении характеристик этого процесса.
Одно такое вос-произведение функционирования системы называют реализацией, или испытанием. После каждого испытания регистрируют совокуп-ность параметров, характеризующих случайный исход реализации. Метод основан на многократных испытаниях построенной Модели с последующей статистической обработкой полученных данных с целью определения числовых характеристик рассматриваемого процесса в виде статистических оценок его параметров. Процесс моде-лирования функционирования экономической системы сводится к машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на ЭВМ со всеми сопровождающими его случайностями.Первые сведения о методе Монте-Карло были опубликованы в конце 1940-х гг. Авторами метода являются американские матема-тики Дж. Нейман и С. Улам. В нашей стране первые работы были опубликованы в 1955—1956 гг. В.В. Чавчанидзе, Ю.А. Шрейдером и B.C. Владимировым.
Основным методом статистического моделирования является закон больших чисел. Закон больших чисел в теории вероятностей доказывает для различных условий сходимость по вероятности средних значений результатов большого числа наблюдений к неко-торым постоянным величинам.
Под законом больших чисел понимают ряд теорем. Например, одна из теорем П.Л. Чебышева формулируется так:
«При неограниченном увеличении числа независимых ис-пытаний п среднее арифметическое свободных от систематических ошибок и равноточных результатов наблюдений случай-ной величины имеющей конечную дисперсию ?(?), сходится по вероятности к математическому ожиданию А/(?) этой случайной величины».
Это можно записать в следующем виде:25/
М-.-л/ф
(4.1)
= 1,
lim P
n—> oo
<є
где є — сколь угодно малая положительная величина.
Теорема Бернулли формулируется так: «При неограниченном увеличении числа независимых испытаний в одних и тех же ус-ловиях частота Р*(А) наступления случайного события А сходится по вероятности к его вероятности Р», т. е.
lim Р\
П-^оо * <е п = 1.
(4.2)
Согласно данной теореме для получения вероятности какого-
либо события, например вероятности состояний некоторой систе-
¦
мы Pj(t), і = 0,к, вычисляют частоты р* для одной реализа-
п
ции (испытания), далее проводят подобные вычисления для числа реализаций, равного п. Результаты усредняют и этим самым с некоторым приближением получают искомые вероятности состояний системы. На основе вычисленных вероятностей определяют другие характеристики системы. Следует отметить, что чем больше число реализаций п, тем точнее результаты вычисления искомых величин (вероятностей состояний системы).
Последнее утверждение легко доказать. Предположим, что тре-буется найти неизвестную величину т. Подберем такую случайную величину чтобы M(t) = т и /)(?) = Ь2. Рассмотрим п случайных величин ?2> ?з> •••> распределение которых совпадает с рас-пределением Если п достаточно велико, то согласно центральной предельной теореме распределение суммы р„ = + + ••• + ?>п будет приближенно нормальным с параметрами а = пт; с2 = n b2.
Из правила «трех сигм»
(4.3)
Р{а - За < § < а + За} = 0,997
следует, что
пт - ЗЬ-Jn < Рп < пт + 3 } = 0,997.
Разделим неравенство, стоящее в фигурной скобке, на п и получим эквивалентное неравенство с той же вероятностью:
Это соотношение можно записать в виде
Р =0,997.
Соотношение (4.4) определяет метод расчета т и оценку по-грешности. В самом деле, найдем п значений случайной величины Из выражения (4.4) видно, что среднее арифметическое этих значений будет приближенно равно т.
С вероятностью Р= 0,997 ошиб-ка такого приближения не превосходит величины
но, эта ошибка стремится к нулю с ростом п, что и требовалось доказать.
Решение любой задачи методом статистического моделирова-ния состоит в следующем:
разработке и построении структурной схемы процесса, выявлении основных взаимосвязей;
формальном описании процесса;
моделировании случайных явлений (случайных событий, случайных величин, случайных функций), сопровождающих функци-онирование исследуемой системы;
моделировании (с использованием данных, полученных на предыдущем этапе) функционирования системы — воспроизведении процесса в соответствии с разработанной структурной схемой и формальным описанием;
накоплении результатов моделирования, их статистической обработке, анализе и обобщении.
В отличие от описанных ранее математических моделей, ре-зультаты которых отражали устойчивое во времени поведение системы, результаты, получаемые при статистическом моделировании, подвержены экспериментальным ошибкам. Это означает, что любое утверждение, касающееся характеристик моделируемой системы, должно основываться на результатах соответствующих статис-тических проверок.
Экспериментальные ошибки при статистическом моделирова-нии в значительной степени зависят от точности моделирования случайных явлений, сопровождающих функционирование исследуемой системы.
Известно, что при изучении вероятностных систем случайные явления могут интерпретироваться в виде случайных событий, слу-
но
чайных величин и случайных функций. Следовательно, моделиро-вание случайных явлений сводится к моделированию случайных событий, случайных величин и случайных функций. Так как слу-чайные события и случайные функции могут быть представлены через случайные величины, то и моделирование случайных событий и случайных функций производится с помощью случайных величин. В связи с этим рассмотрим сначала способы моделирования случайных величин.