Задачи

S0 - полностью исправна;

Sj — незначительные неисправности, которые позволяют эксплуатировать ЭВМ;

— существенные неисправности, дающие возможность решать ограниченное число задач;

— ЭВМ полностью вышла из строя.

Матрица переходных вероятностей имеет вид

0,5 0,3 0,2 0

0 0,4 0,4 0,2

0 0 0,3 0,7

0 0 0 1

Постройте граф состояний.

2.2. Магазин продает две марки автомобилей А и В. Опыт эксплуатации этих марок автомобилей свидетельствует о том, что для них имеют место различные матрицы переходных вероятностей, соответствующие состояниям: работает хорошо (состояние 1) и требует ремонта (состояние 2):

автомобиль марки А Рд =

автомобиль марки В Р^ =

Элементы матрицы перехода определены на годовой период эксплуатации автомобиля.

Требуется:

найти вероятности состояний для каждой марки автомобиля после двухлетней эксплуатации, если в начальном состоянии автомобиль «работает хорошо»;

определить марку автомобиля, являющуюся более предпочтительной для приобретения в личное пользование.

Система 5-автомобиль может находиться в одном из пяти возможных состояний:

исправен, работает;

неисправен, ожидает осмотра;

осматривается;

ремонтируется;

списывается.

Постройте граф состояний системы.

Организация по прокату автомобилей в городе выдает автомобили напрокат в трех пунктах города: А, В, С. Клиенты могут возвращать автомобили в любой из трех пунктов. Анализ процесса возвращения автомобилей из проката в течение года показал, что клиенты возвращают автомобили в пункты А, В, С в соответствии со следующими вероятностями: Пункты выдачи Пункты приема автомобилей А В С А 0,8 0,2 0 В 0,2 0 0,8 С 0,2 0,2 0,6 1.

Требуется:

1) в предположении, что число клиентов в городе не изменяется, найти процентное распределение клиентов, возвращающих автомобили по станциям проката к концу года, если в начале года оно было равномерным;

найти вероятности состояний в установившемся режиме;

определить пункт проката, у которого более целесообразно строить станцию по ремонту автомобилей.

Рассматривается процесс накопления терминов в динамическом словаре (тезаурусе) при функционировании автоматизированного банка данных (АБД).

В каждой единице информации, поступающей в АБД, в среднем встречается х терминов словаря, а интенсивность поступления единиц информации в АБД равна %(t). Следовательно, интенсивность потока терминов словаря в информации, поступающей в АБД, будет X(t) = хХ(0- Предполагается, что поток терминов словаря является пуассоновским. Число терминов словаря п является конечным и неслучайным, хотя, возможно, и неизвестным нам заранее. Все термины словаря могут находиться в единице информации с одинаковой вероятностью. В словарь заносятся, естественно, лишь те термины, которые до сих пор еще не встречались в единицах информации.

Требуется найти математическое ожидание и дисперсию числа терминов, накопленных в динамическом словаре .

Водитель такси обнаружил, что если он находится в городе А, то в среднем в 8 случаях из 10 он везет следующего пассажира в город Б, в остальных случаях будет поездка по городу А. Если же он находится в городе Б, то в среднем в 4 случаях из 10 он везет следующего пассажира в город А, в остальных же случаях будет поездка по городу Б.

Требуется:

перечислить возможные состояния процесса и построить граф состояний;

записать матрицу переходных вероятностей;

найти вероятности состояний после двух шагов процесса, если:

а) в начальном состоянии водитель находится в городе А;

б) в начальном состоянии водитель находится в городе Б;

найти вероятности состояний в установившемся режиме.

Система S представляет собой техническое устройство, состоящее из т узлов и время от времени (в моменты tb t2itk) под-вергающееся профилактическому осмотру и ремонту.

— все узлы исправны (ни один не заменялся новым);

S\ — один узел заменен новым, остальные исправны;

S2 — два узла заменены новыми, остальные исправны;

?/ — і узлов (/ < т) заменены новыми, остальные исправны;

Sm — все т узлов заменены новыми.

Суммарный поток моментов окончания осмотров для всех узлов — пуассоновский с интенсивностью X = 4. Вероятность того, что в момент профилактики узел придется заменить новым, равна Р = 0,4.

Рассматривая процесс профилактического осмотра и ремонта (замены) как марковский процесс размножения, вычислите вероятности состояний системы (S) в стационарном режиме (для т = 3), если в начальный момент времени все узлы исправны .

Техническое устройство имеет два возможных состояния:

— исправно, работает;

— неисправно, ремонтируется.

Матрица переходных вероятностей имеет вид:

РЛ=\\0'7 °'3||. 711 II 0,8 0,2 II

Постройте граф состояний. Найдите вероятности состояний после третьего шага и в установившемся режиме, если в начальном состоянии техническое устройство исправно.

Система S состоит из двух узлов — I и II, каждый из которых может в ходе работы системы отказать (выйти из строя).

Перечислите возможные состояния системы и постройте граф состояний для двух случаев:

ремонт узлов в процессе работы системы не производится (чистый процесс гибели системы);

отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться.

В городе издаются три журнала: Q, С2, С3, и читатели вы-писывают только один из них. Пусть в среднем читатели стремятся поменять журнал, т. е. подписаться на другой не более одного раза в год, и вероятности таких изменений постоянны. Результаты маркетинговых исследований спроса читателей на журналы дали следующее процентное соотношение:

80% читателей Сх подписываются на С2;

15% читателей С2 подписываются на С3;

8% читателей С3 подписываются на Сх.

Требуется:

записать матрицу переходных вероятностей для средних годовых изменений;

предположить, что общее число подписчиков в городе постоянно, и определить, какая доля из их числа будет подписываться на указанные журналы через два года, если по состоянию на 1 января текущего года каждый журнал имел одинаковое число подписчиков;

найти вероятности состояний в установившемся режиме и определить журнал, который будет пользоваться наибольшим спросом у читателей.

Техническое устройство состоит из двух узлов и может находиться в одном из следующих состояний:

оба узла исправны, работают;

неисправен только первый узел;

неисправен только второй узел;

неисправны оба узла.

Вероятность выхода из строя (отказов) после месячной эксплуатации для первого узла - Рх = 0,4; для второго узла — Р2 = 0,3, а вероятность совместного выхода их из строя — Pj 2 = 0,1. В исходном состоянии оба узла исправны, работают.

Запишите матрицу переходных вероятностей и найдите вероятности состояний после двухмесячной эксплуатации.

Размеченный граф состояний системы S имеет вид, показанный на рис.

Запишите систему дифференциальных уравнений Колмогорова и начальные условия для решения системы, если известно, что в начальный момент система находится в состоянии

2.13. Экономическая система S имеет возможные состояния: S\, S2, 1S4. Размеченный граф состояний системы с указанием численных значений интенсивностей перехода показан нарис. 2.15.

Вычислите вероятности состояний в стационарном режиме. 2.14. Размеченный граф состояний экономической системы с указанием численных значений интенсивностей перехода системы показан на рис. 2.16.

Напишите алгебраические уравнения для вероятностей состояний в установившемся режиме. Определите финальные вероятности состояний системы.

2.15. Граф состояний системы имеет вид, приведенный на рис. 2.17.

Напишите алгебраические уравнения для вероятностей состояний в стационарном режиме и найдите выражение для этих вероятностей.

Найдите вероятности состояний в установившемся режиме для процесса гибели и размножения, граф которого представлен на рис. 2.18.

Рис. 2.18. Граф состояний системы

На автотранспортном предприятии (АТП) эксплуатируют-ся модели автомобилей одной марки. Интенсивность поступления на АТП новых автомобилей А = 5 авт/год. Средний срок службы автомобиля до списания Тсп = 7 лет. Величина Тсп распределена —

1

по показательному закону с параметром }! = •=—.

Найдите финальные вероятности и математическое ожидание числа эксплуатируемых автомобилей в стационарном режиме, если число автомобилей в АТП не ограничено.

В задаче 2.17 число эксплуатируемых автомобилей ограничено, п = 60 единиц.

Найдите финальные вероятности и математическое ожидание числа эксплуатируемых автомобилей в стационарном режиме на АТП.

Найдите вероятности состояний в стационарном режиме для процесса гибели и размножения, граф которого показан на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Граф состояний системы

Система учета на предприятии использует компьютерную сеть, в состав которой входит п = 6 персональных компьютеров (ПК).

Постройте граф состояний для системы S (6 ПК), напишите дифференциальные уравнения для вероятностей состояний. Найдите вероятности состояний 3) и математическое ожидание числа персональных компьютеров (М3), успешно прошедших профилактику после трех часов с начала обслуживания (t = 3).

Используйте условие задачи 2.20, за исключением того, что система учета предприятия применяет не шесть, а десять персональных компьютеров.

Размеченный граф состояний в установившемся режиме для процесса гибели и размножения приведен на рис. 2.20.

Граф состояний системы имеет вид, приведенный на рис. 2.21.

Найдите вероятности состояний системы в стационарном режиме.

2.24. Рассматривается производство персональных компьютеров на заводе. Поток производимых компьютеров — простейший пуассоновский с интенсивностью А(0 = А = 1200 год-1 (число компьютеров в год).

Определите вероятность выпуска 5000 компьютеров. За четыре года работы завода вычислите характеристики процесса производства ПК m[X(t)\ и D[X(t)]y при t = 4 года.

Постройте граф состояний процесса производства ПК.

Аудиторская фирма разрабатывает проекты отдельных документов для 6 предприятий. Поток разрабатываемых документов — простейший пуассоновский с интенсивностью X = 2 месяца"1. Определите закон распределения случайного процесса X(t) — число разрабатываемых документов на момент времени t = 2 месяца, если в момент t = О начата разработка документов.

Вычислите математическое ожидание M[X(t)] случайного процесса X(t), предварительно построив размеченный граф состояний.

Размеченный граф состояний в установившемся режиме для процесса гибели и размножения приведен на рис.

Рис. 2.22. Граф состояний системы

Найдите вероятности состояний.

2.27. Граф состояний системы имеет вид, приведенный на рис. 2.23.

Найдите вероятности состояний в стационарном режиме. 2.28. Размеченный граф состояний представлен на рис. 2.24. Найдите вероятности состояний St и характеристику M[X{t)] на момент времени / = 3.

2

2

2

2

®—>@—>0——К§)

2.29. Размеченный граф состояний представлен на рис. 2.25. Найдите вероятности состояний St и характеристику M[X(t)] на момент времени t = 4.

3 3 3

Si) Jsl) >Ш Ks4

Рис. 2.25. Граф состояний системы

2.30. Размеченный граф состояний представлен на рис. 2.26. 5 5 5 5 5 5

So)—Jsl)—-Ч?)——Кл)—Кл)—

Рис. 2.26. Граф состояний системы

Найдите вероятности состояний St и характеристики M[X(t)] и 0[Щ] ДЛЯ t = 2.