<<
>>

1.2.6 Обобщенные модели случайных процессов (по Пугачеву)

Всякий случайный процесс может быть представлен в виде:

X (t) = mx (t) + X(t) (1.108)

и описан моделью:

ад

X(t) = mx (t) + ?икфк (t), (1.109)

k=1

где Uk - коэффициенты разложения случайной величины; фк - координатные, детерминированные функции.

В качестве критерия адекватности модели исследуемому сигналу можно взять критерий минимума среднеквадратической погрешности:

А = M[{XM (t) — X(t)}2 ]= min, (1.110)

ад

M [XM (t)] = M [mx (t)] + ? M [k ]k (t). (1111)

k=1

Чтобы обеспечить равенство математических ожиданий модели и сигнала необходимо, чтобы сумма равнялась нулю.

Это возможно, когда все случайные величины Uk центрированы. Дальнейшее построение модели сводится к отысканию Uk.

А = min

(1.112) (1.113)

Xm (t) = ? икфк (t)

2

k=1

А = M

= min .

Xm (t) — x(t)

dA

= 0,

Это выполняется при

ф (t)

дфk (t)

дфk (t)

= 0.

dA

или = M

0

X m (t)—x(t)!д Xm

Шд X m TT -—— = Uk

дфk (t)

M

= 0,

XM (t) — X (t) U

отсюда

0

(1.114)

X (t )Uk

M

= M

XM (t )Uk

(1.115)

X(t)Uk

k = 0,1,...ад.

?M[UmUk ]фт (t) = M

m=1

Это нереально, поэтому кроме требования центрированности, накладываем еще одно условие

M U (t)Uk (t)]= Rm,k .

Для того чтобы избежать необходимости решать систему уравнений, потребуем выполнения условия ортогональности

(1.116)

Rm,k

|Dk , m = k I 0, m Ф k

то есть случайные величины U должны быть некоррелированными.

2

M

Uk

= Dk,

(1.117)

Uk X(t)

k = 1,2,3,...

Ркфк (t) = M

Вместо системы уравнений получаем совокупность уравнений, каждое из которых имеет единственное неизвестное. Определяем координатные функции

M

Uk X (t)

(1.118)

(рк (t) = ¦

Dk

при известной дисперсии.

Или наоборот, задаваясь координатными функциями, отыскиваем дисперсии:

M

Uk X (t)

Dk =¦

(Pk (t)

(1.119)

Вывод: любой случайный процесс X(t) можно описать моделью

XM (t) = mx(t) + ^Uk?k (t),

k=1

причем математические ожидания модели и сигналы должны совпадать, а коэффициенты разложения представляют центрированные и некоррелированные случайные величины.

Uk X(t)

DkVk (t) = M

^ 0, следовательно, любой

Uk X(t)

Так как Dkpk (t) ^ 0, то и M

коэффициент разложения должен быть коррелирован с самим сигналом X(t).

Вычислим минимальное значение среднеквадратической погрешности. Итак, центрированная модель имеет вид

0 N

XM (t) = T,UkPk (t)

k=1

Среднеквадратическая погрешность определяется выражением

Д = M

Xm (t) — x(t)

2

' 0 2 " 0 0 ' 0 2 " A = M XM (t) — 2M XM (t) X (t) + M X (t) причем последнее слагаемое равно дисперсии исследуемого сигнала.

0 NN N

x2(t) = ??фk (^)фт (t)M UUm ]=? DkФk2(t),

k=1

k=1 m=1

0 0 ад 0 XM (t) x (t) = ?UkФk (t) x (t),

k=1

Xm (t) X (t)

Uk X(t)

M

= ?фk (t)M

k=1

но

Uk X(t)

M M

= ? D^l(t), то есть

k=1

Xm (t) X (t)

= ? D^i(t),

k=1

NN

A min = Dx (t) — 2? D^Kt) + ? Dkфф (t),

k=1

k=1 N

(1.120)

A min = Dx (t) — ? Dkф2k(t).

k=1

Отсюда видно, что среднеквадратическая погрешность убывает до нуля, когда N стремится к бесконечности.

N

Выражение ? D^2k(t), будем считать дисперсией модели.

k=1

Минимальную среднеквадратическую погрешность чисто формально можно представить в виде

(1.121)

Аmin =|Rx (t, t1) — ??? ^Фk (^k (t1 )j к = tr .

где Rx(t,t1) - АКФ сигнала.

Отсюда можно предложить, что

N

? DkФk (t )Фk (tx) = RM (t, t1) — АКФ модели.

k=1

Обратимся к модели и найдем ее функцию корреляции:

XM (t) X(t)

RM (t, t:) = M

N N

NN

(t)?m ftM[UkUm ] =

= M

Z&k (t )Vm (tl)UkU„

k=1 m=1

k=1 m=1

N

(1.122)

= X DkVk (t )Pk ft):

k=1

погрешности

то есть, наше предложение о виде АКФ модели верно. Таким образом, минимум среднеквадратической определяется выражением

(1.123)

a min = k (t, t1) - rM (t, =t1.

Выводы.

В качестве модели АКФ случайного процесса можно брать ее каноническую модель:

N

RM (t, OX Dkyk (t ft),

k=1

и чем точнее модель АКФ, тем точнее будет модель самого сигнала.

Из выражения для канонической модели АКФ вытекает каноническая модель сигнала, и для построения последней необходимо предварительно синтезировать каноническую модель его функции корреляции.

1.2.7 Математическое описание стационарных случайных сигналов в частотной области

Настоящий раздел посвящен рассмотрению частотных, или спектральных свойств стационарных случайных процессов. В зависимости от того, на ограниченном или неограниченном промежутке времени исследуется сигнал, эти свойства разительно отличаются друг от друга.

<< | >>
Источник: Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н.. Методы и средства оперативного анализа случайных процессов:Учебное пособие. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ. 2004

Еще по теме 1.2.6 Обобщенные модели случайных процессов (по Пугачеву):

  1. Глава 2.Случайные процессы и квантовая теория поля
  2. 2.2 Случайные процессы и СДУ
  3. Глава З.Многомасштабные случайные процессы
  4. 1.2. Обобщенная модель цифровой радиосистемы передачи информации
  5. Модель коммуникативного процесса
  6. 1.2.3 Математическое описание случайных процессов Классификация случайных процессов
  7. Стационарные случайные процессы
  8. Эргодические случайные процессы
  9. Нестационарные случайные процессы
  10. 1.2.4 Исчерпывающее описание случайных процессов
  11. 1.2.5 Приближенное описание случайных процессов
  12. 1.2.6 Обобщенные модели случайных процессов (по Пугачеву)
  13. 3.5. Модель параллельного процесса: убеждение и внушение
  14. Глава 2Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов
  15. 2.4. Моделирование работы подвижного состава с использованием марковских случайных процессов
  16. Теория массового обслуживания. Случайные процессы.
  17. Второй структурный блок модели капитала: «процесс обращения капитала»
  18. 6.2 Модели технологических процессов
  19. Глава 1. Основания теории случайных процессов.
  20. Глава 3. Элементы общей теории случайных процессов. Точечные случайные процессы.