1.2.6 Обобщенные модели случайных процессов (по Пугачеву)
X (t) = mx (t) + X(t) (1.108)
и описан моделью:
ад
X(t) = mx (t) + ?икфк (t), (1.109)
k=1
где Uk - коэффициенты разложения случайной величины; фк - координатные, детерминированные функции.
В качестве критерия адекватности модели исследуемому сигналу можно взять критерий минимума среднеквадратической погрешности:
А = M[{XM (t) — X(t)}2 ]= min, (1.110)
ад
M [XM (t)] = M [mx (t)] + ? M [k ]k (t). (1111)
k=1
Чтобы обеспечить равенство математических ожиданий модели и сигнала необходимо, чтобы сумма равнялась нулю.
Это возможно, когда все случайные величины Uk центрированы. Дальнейшее построение модели сводится к отысканию Uk.А = min
(1.112) (1.113)
Xm (t) = ? икфк (t)
2
k=1
А = M
= min .
Xm (t) — x(t)
dA
= 0,
Это выполняется при
ф (t)
дфk (t)
дфk (t)
= 0.
dA
или = M
0
X m (t)—x(t)!д Xm
Шд X m TT -—— = Uk
дфk (t)
M
= 0,
XM (t) — X (t) U
отсюда
0
(1.114)
X (t )Uk
M
= M
XM (t )Uk
(1.115)
X(t)Uk
k = 0,1,...ад.
?M[UmUk ]фт (t) = M
m=1
Это нереально, поэтому кроме требования центрированности, накладываем еще одно условие
M U (t)Uk (t)]= Rm,k .
Для того чтобы избежать необходимости решать систему уравнений, потребуем выполнения условия ортогональности
(1.116)
Rm,k
|Dk , m = k I 0, m Ф k
то есть случайные величины U должны быть некоррелированными.
2
M
Uk
= Dk,
(1.117)
Uk X(t)
k = 1,2,3,...
Ркфк (t) = M
Вместо системы уравнений получаем совокупность уравнений, каждое из которых имеет единственное неизвестное. Определяем координатные функции
M
Uk X (t)
(1.118)
(рк (t) = ¦
Dk
при известной дисперсии.
Или наоборот, задаваясь координатными функциями, отыскиваем дисперсии:
M
Uk X (t)
Dk =¦
(Pk (t)
(1.119)
Вывод: любой случайный процесс X(t) можно описать моделью
XM (t) = mx(t) + ^Uk?k (t),
k=1
причем математические ожидания модели и сигналы должны совпадать, а коэффициенты разложения представляют центрированные и некоррелированные случайные величины.
Uk X(t)
DkVk (t) = M
^ 0, следовательно, любой
Uk X(t)
Так как Dkpk (t) ^ 0, то и M
коэффициент разложения должен быть коррелирован с самим сигналом X(t).
Вычислим минимальное значение среднеквадратической погрешности. Итак, центрированная модель имеет вид
0 N
XM (t) = T,UkPk (t)
k=1
Среднеквадратическая погрешность определяется выражением
Д = M
Xm (t) — x(t)
2
' 0 2 " 0 0 ' 0 2 " A = M XM (t) — 2M XM (t) X (t) + M X (t) причем последнее слагаемое равно дисперсии исследуемого сигнала.
0 NN N
x2(t) = ??фk (^)фт (t)M UUm ]=? DkФk2(t),
k=1
k=1 m=1
0 0 ад 0 XM (t) x (t) = ?UkФk (t) x (t),
k=1
Xm (t) X (t)
Uk X(t)
M
= ?фk (t)M
k=1
но
Uk X(t)
M M
= ? D^l(t), то есть
k=1
Xm (t) X (t)
= ? D^i(t),
k=1
NN
A min = Dx (t) — 2? D^Kt) + ? Dkфф (t),
k=1
k=1 N
(1.120)
A min = Dx (t) — ? Dkф2k(t).
k=1
Отсюда видно, что среднеквадратическая погрешность убывает до нуля, когда N стремится к бесконечности.
N
Выражение ? D^2k(t), будем считать дисперсией модели.
k=1
Минимальную среднеквадратическую погрешность чисто формально можно представить в виде
(1.121)
Аmin =|Rx (t, t1) — ??? ^Фk (^k (t1 )j к = tr .
где Rx(t,t1) - АКФ сигнала.
Отсюда можно предложить, чтоN
? DkФk (t )Фk (tx) = RM (t, t1) — АКФ модели.
k=1
Обратимся к модели и найдем ее функцию корреляции:
XM (t) X(t)
RM (t, t:) = M
N N
NN
(t)?m ftM[UkUm ] =
= M
Z&k (t )Vm (tl)UkU„
k=1 m=1
k=1 m=1
N
(1.122)
= X DkVk (t )Pk ft):
k=1
погрешности
то есть, наше предложение о виде АКФ модели верно. Таким образом, минимум среднеквадратической определяется выражением
(1.123)
a min = k (t, t1) - rM (t, =t1.
Выводы.
В качестве модели АКФ случайного процесса можно брать ее каноническую модель:
N
RM (t, OX Dkyk (t ft),
k=1
и чем точнее модель АКФ, тем точнее будет модель самого сигнала.
Из выражения для канонической модели АКФ вытекает каноническая модель сигнала, и для построения последней необходимо предварительно синтезировать каноническую модель его функции корреляции.
1.2.7 Математическое описание стационарных случайных сигналов в частотной области
Настоящий раздел посвящен рассмотрению частотных, или спектральных свойств стационарных случайных процессов. В зависимости от того, на ограниченном или неограниченном промежутке времени исследуется сигнал, эти свойства разительно отличаются друг от друга.