1.2.6 Обобщенные модели случайных процессов (по Пугачеву)

X (t) = mx (t) + X(t) (1.108)

и описан моделью:

ад

X(t) = mx (t) + ?икфк (t), (1.109)

k=1

где Uk - коэффициенты разложения случайной величины; фк - координатные, детерминированные функции.

В качестве критерия адекватности модели исследуемому сигналу можно взять критерий минимума среднеквадратической погрешности:

А = M[{XM (t) — X(t)}2 ]= min, (1.110)

ад

M [XM (t)] = M [mx (t)] + ? M [k ]k (t). (1111)

k=1

Чтобы обеспечить равенство математических ожиданий модели и сигнала необходимо, чтобы сумма равнялась нулю.

А = min

(1.112) (1.113)

Xm (t) = ? икфк (t)

2

k=1

А = M

= min .

Xm (t) — x(t)

dA

= 0,

Это выполняется при

ф (t)

дфk (t)

дфk (t)

= 0.

dA

или = M

0

X m (t)—x(t)!д Xm

Шд X m TT -—— = Uk

дфk (t)

M

= 0,

XM (t) — X (t) U

отсюда

0

(1.114)

X (t )Uk

M

= M

XM (t )Uk

(1.115)

X(t)Uk

k = 0,1,...ад.

?M[UmUk ]фт (t) = M

m=1

Это нереально, поэтому кроме требования центрированности, накладываем еще одно условие

M U (t)Uk (t)]= Rm,k .

Для того чтобы избежать необходимости решать систему уравнений, потребуем выполнения условия ортогональности

(1.116)

Rm,k

|Dk , m = k I 0, m Ф k

то есть случайные величины U должны быть некоррелированными.

2

M

Uk

= Dk,

(1.117)

Uk X(t)

k = 1,2,3,...

Ркфк (t) = M

Вместо системы уравнений получаем совокупность уравнений, каждое из которых имеет единственное неизвестное. Определяем координатные функции

M

Uk X (t)

(1.118)

(рк (t) = ¦

Dk

при известной дисперсии.

Или наоборот, задаваясь координатными функциями, отыскиваем дисперсии:

M

Uk X (t)

Dk =¦

(Pk (t)

(1.119)

Вывод: любой случайный процесс X(t) можно описать моделью

XM (t) = mx(t) + ^Uk?k (t),

k=1

причем математические ожидания модели и сигналы должны совпадать, а коэффициенты разложения представляют центрированные и некоррелированные случайные величины.

Uk X(t)

DkVk (t) = M

^ 0, следовательно, любой

Uk X(t)

Так как Dkpk (t) ^ 0, то и M

коэффициент разложения должен быть коррелирован с самим сигналом X(t).

Вычислим минимальное значение среднеквадратической погрешности. Итак, центрированная модель имеет вид

0 N

XM (t) = T,UkPk (t)

k=1

Среднеквадратическая погрешность определяется выражением

Д = M

Xm (t) — x(t)

2

' 0 2 " 0 0 ' 0 2 " A = M XM (t) — 2M XM (t) X (t) + M X (t) причем последнее слагаемое равно дисперсии исследуемого сигнала.

0 NN N

x2(t) = ??фk (^)фт (t)M UUm ]=? DkФk2(t),

k=1

k=1 m=1

0 0 ад 0 XM (t) x (t) = ?UkФk (t) x (t),

k=1

Xm (t) X (t)

Uk X(t)

M

= ?фk (t)M

k=1

но

Uk X(t)

M M

= ? D^l(t), то есть

k=1

Xm (t) X (t)

= ? D^i(t),

k=1

NN

A min = Dx (t) — 2? D^Kt) + ? Dkфф (t),

k=1

k=1 N

(1.120)

A min = Dx (t) — ? Dkф2k(t).

k=1

Отсюда видно, что среднеквадратическая погрешность убывает до нуля, когда N стремится к бесконечности.

N

Выражение ? D^2k(t), будем считать дисперсией модели.

k=1

Минимальную среднеквадратическую погрешность чисто формально можно представить в виде

(1.121)

Аmin =|Rx (t, t1) — ??? ^Фk (^k (t1 )j к = tr .

где Rx(t,t1) - АКФ сигнала.

N

? DkФk (t )Фk (tx) = RM (t, t1) — АКФ модели.

k=1

Обратимся к модели и найдем ее функцию корреляции:

XM (t) X(t)

RM (t, t:) = M

N N

NN

(t)?m ftM[UkUm ] =

= M

Z&k (t )Vm (tl)UkU„

k=1 m=1

k=1 m=1

N

(1.122)

= X DkVk (t )Pk ft):

k=1

погрешности

то есть, наше предложение о виде АКФ модели верно. Таким образом, минимум среднеквадратической определяется выражением

(1.123)

a min = k (t, t1) - rM (t, =t1.

Выводы.

В качестве модели АКФ случайного процесса можно брать ее каноническую модель:

N

RM (t, OX Dkyk (t ft),

k=1

и чем точнее модель АКФ, тем точнее будет модель самого сигнала.

Из выражения для канонической модели АКФ вытекает каноническая модель сигнала, и для построения последней необходимо предварительно синтезировать каноническую модель его функции корреляции.

1.2.7 Математическое описание стационарных случайных сигналов в частотной области

Настоящий раздел посвящен рассмотрению частотных, или спектральных свойств стационарных случайных процессов. В зависимости от того, на ограниченном или неограниченном промежутке времени исследуется сигнал, эти свойства разительно отличаются друг от друга.