Спектральное представление стационарного сигнала, рассматриваемого на ограниченном интервале времени

Пусть X(t) - центрированный стационарный случайный процесс на

участке 0 < t < T, а Rx (t, О - АКФ этого процесса.

Так как X(t)- стационарный сигнал, то его корреляционная функция является функцией одного аргумента:

Rx (t, О = Rx ft -1) = Rx (т), где т = tj -1.

0 < t < T 0 < и < T

—T < т < T

^ — T < tj — t < T;

На рисунке 24 изображен график зависимости АКФ от интервала между сечениями.

Рисунок 24 - График АКФ, ограниченного во времени стационарного

случайного процесса

Построим каноническую модель АКФ, для этого представим ее в виде тригонометрического ряда Фурье:

b ад ад

(1.124)

Rx(т) = -2 + ? bk cos(kw т) + ? Ak sin(kw т).

2 k=1 k=1

Определим коэффициенты ряда:

h

2

kx

T0 —T0

2

tl 2

bk = T" J Rx (r)cos(kwr)dr;

Ak = — J Rx (r)sin(kwr)dr,

T0

0 —T0 2

w = —; Ak = 0, так как АКФ - четная функция своего аргумента, sin-

T0

нечетная, а интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю;

bk = Dk, тогда

D ад

Rx (т) = -2- + ? Dk cos(kw т);

2 k=1

h

2

2 С

Dx = — I Rx (т) cos(kw z)dz, избавляемся от To: T J

T

2

w = — = — = —, тогда

T0 2TT

1 f

Dk = T J Rx (T)c0s(kwT)dT .

1 _T

Докажем, что эта модель является канонической., для этого вместо т подставим его значение

D ад

Rx(t,О = ~г + ?Dk cos(kw(t-ti)),

2 k=1

но cos(kw(t-t1))=cos (kwt-kwt1)=cos(kwt) cos(kwt1)+sin(kwt) sin(kwt1),

тогда

D ад

Rx (t, t1) = + ? Dk (cos(kwt) cos(kwt1) + sin(kwt) sin(kwt1))

k=1

Таким образом, сам сигнал может быть представлен в виде:

ад ад

X(t) = Ф + ?Uk coskwt + ?Vk sinkwt. (1.125)

kk k=1 k=1

Коэффициенты разложения при этом обладают следующими свойствами.

M [Ф] = M [Uk ] = M [Vk ] = 0, то есть все они центрированы.

Коэффициенты разложения некоррелированны между собой:

M [ФЦ^ ] = M [Ф?к ] = 0 при любых k.

Г 0, к ^ m 3 M[UkUm] = {Dk,k = m .

4.

2

То есть сигнал описывается разложением:

X(t) = Ф + X (Uk cos(kwt) + Vk sin(kwt)) =

k=1

ад

= Ф + X (Ak sin(kwt + vk )),

k

k=1

где

f Vл

v Uk j

Ak = ; (pk = arctg

Любой стационарный случайный сигнал может быть представлен в виде бесконечного ряда тригонометрических функций со случайными амплитудами и фазами.

Определим дисперсию к-й гармоники:

Dk = M[{{ cos kwt + Vk sin kwt}] = = cos2 (kwt )M[U, ]+ 2 sin(kwt) cos(kwt )M [UkVk ] +

= sin2 (kwt )M [vk2 ]. (1.126)

Дисперсия Dx характеризует мощность к-й гармонической составляющей канонической модели сигнала.

Зависимость величины Dk от частоты получила название спектра случайного сигнала или спектра мощности случайного сигнала или энергетического спектра.

1 T

Dk =— I Rx (r)cos kwzdz T J

-T

D ш

Rx(t,О =+ XDk cos(kw(t-O). (1.127)

2k

2 k=1

Спектр случайного сигнала, ограниченного во времени, имеет линейчатых дискретный характер, он определен на строго фиксированных частотах.

Спектр обладает следующими основными свойствами.

Он неотрицателен Dk=>0.

Представляет собой четную функцию k: Dk=D-k

Д

Я А

D,

А 2

П.

w 2w 3w 4w

Рисунок 25 - Энергетический спектр случайного сигнала

3. Положим т=0

D

Dx = D+х Dk,

k=1

то есть энергия (мощность) всего сигнала складывается из мощности (энергии) постоянной составляющей и всех гармоник.

4. Рассмотрим, как ведет себя дисперсия к-й гармоники при неограниченном увеличении промежутка времени Т.

2D.,

1 1 21 2D T

(1.128)

k

T

Dk = 1IIRx(т)|dT = 11|Rx(r)\dr <-j^\\px(T)|dT =

i

где тк = !\px(T)|dT - интервал корреляции процесса X(t).

2D

То есть, Dk <^т~ T - при увеличении Т дисперсия гармоники убывает.

5. Как видно из равенства (1.128) предел дисперсии при неограниченном увеличении Т равен нулю

(1.129)

lim D.

т k

Рассмотрим, к чему стремится дисперсия при неограниченном росте порядкового номера гармоники к.

Обозначим: kwT = x, X = kwT = kn, xH = -kn ,

T = X, dT = dx = —dx,

kw kw kn

1 kn

— IR

Dk =

-^lcos xdX, lim Dk = 0 knj k

при больших к

1 кп

Dk = — Jcos(x)dX •

кп -кп

То есть, при больших к энергетический спектр затухает.

Рассмотрим вопрос определения полосы частот сигнала.

В основу определения частотного диапазона кладется энергетический подход, то есть под полосой частот подразумевает такая, в которой сосредоточена практически вся энергия (мощность) сигнала, а именно - 95 %.

N

XM (t) = ? A sin(kwt + )

к=m

wH = mw; we = Nw .

Таким образом, верхняя и нижняя границы полосы частот при известных m и N легко определяются. Ширина спектра при

Aw = (N - m)w

N

DM = ? Dk - мощность сигнала в полосе частот.

к=m

Отсюда ищутся m и N. Но непосредственно таким подходом воспользоваться нельзя, нужны другие способы. Например, предположим, что потери энергии на частотах от 0 до m-1 и от N+1 до ад равны, тогда:

D m-1

D + ? Dk = 0.025D, (1.130)

2 к=1

отсюда определяют m:

ад

? Dk = 0.025Dx,

к=N+1

из этого выражения можно найти N, но вычислить сумму бесконечного ряда неудобно, поэтому часто прибегают к такому подходу:

D N ад

Dx = D + ? Dk + ? Dk ,

2 к=1 к =N+1

это мощность всего сигнала;

ад D N

? Dk = Dx -D-?Dk = 0.025Dx . (1.131)

к=N+1 2 k=1

Этим уравнением для определения N воспользоваться проще, для этой цели можно применить и такое выражение:

D N

0.975D. = D + ? Dk. (1.132)

2 k=1