Неканоническая модель стационарного случайного сигнала(по Чернецкому)

Пусть имеем стационарный случайный сигнал X(t), который попытаемся описать моделью X(t), определяемую критериями

м [ X (t)]=M[XM (t)], (1.163)

D[ X (t)] = D[XM (t)], (1.164)

Rx (т) = RM (т). (1.165)

Модель стационарного случайного процесса можно предположить в следующем виде:

X(t) = mx + bj sin(wt) + b2 cos(wt) , (1.166)

где b1, b2 , w - центрированные, независимые случайные величины.

п—г ( (О!

X(t) = mx +Jbj2 + b22 * sin wt + arctg — .

b

V VW2 JJ

То есть, случайный процесс представляет аддитивную смесь постоянной составляющей и суммы гармоник со случайными амплитудами, частотами и фазами.

В данной модели компактность достигается за счет того, что частота носит случайный характер. В этом и заключается ее основное отличие от канонической модели Пугачева.

Для центрированного случайного сигнала модель имеет вид.

о

Хм (t) = bj sin(wt) + b2 cos(wt).

Найдем дисперсию модели

о2

Xm(t)

DM = M

Хм(t) = bj2 sin2(wt) + 2bjb2 sin(wt)cos(wt) + b22 cos2(wt) = = bj2 sin2(wt) + bjb2 sin(2wt) + b22 cos2(wt) =

, и b2 sin(2wt) + b22 ™2' bj2 sin2(wt) + bjb2 sin(2wt) + b22b22 sin(wt) ^ + b:b2

(bj2 — b22) sin2(wt) + b22 + bjb2 sin(2wt).

В соответствии с этой формулой находим дисперсию:

DM = M[(b2 — b22)]*M[sin2(wt)]+M[b22 ]+M[bx ]*M[b2 ]*M[j/]

{M [bj2 ]—M [b22 ]}* M [sin2(wt)]+M [b22 ]+ 0

т.к bi и b2 центрированны.

Должно выполняться условие: DM = DX, то есть

{м[b2 ]—M[b22 ]}* M[sin2(wt)]+M[b22 ]= Dx. (1.167)

Левая часть не должна зависеть от времени. Это выполняется, когда , М[bj2 ] = М[b22 ], тогда М[b22 ] = Dx, таким образом

М [bj2 ] = М [b2 ]= Dx.

То есть, случайные величины, входящие в модель Чернецкого могут быть любыми, но непременно центрированными и с равными дисперсиями, которые, в свою очередь, должны быть равными дисперсии моделируемого сигнала.

Напомним еще об одном требовании, которому должна удовлетворять модель - равенства корреляционных функций исследуемого сигнала и модели:

Rx (т) = RM (т)

оо

RM (т) = М

Хм (t) X M (t —т)

Хм (t) = bj sin(wt) + b2 cos(wt);

о

Хм (t — т) = bj sin(w(t — т)) + b2 cos(w(t — т));

о 0

Хм (t)Хм (t — т) = bj2 sin(wt)sin(w(t — т)) + bjb2 sin(wt)cos(w(t — т)) + bjb2 cos(wt)sin(w(t — т)) + b22 cos(wt)cos(w(t — т)) RM (т) = M [bj2 M [sin(wt) sin(w(t — т))] +

+ M [bj ]M [b2 ]M [sin(wt) cos(w(t — т))] + + M [bj ]M [b2 ]M [cos(wt) sin( w(t — т))] +

M [b22 ]M [cos(wt) cos(w(t — т))]

Но так как b1 и b2 являются центрированными случайными величинами, то их математическое ожидания равны нулю, и тогда

RM (т) = м [bj2 М [sin(wt) sin( w(t — т))] + +М [b22 ]м [cos(wt) cos(w(t — т))] =

= DxM [sin(wt) sin( w(t — т))] + DxM [cos(wt) cos(w(t — т))] = = DxM [cos(wt)]

Следует отметить, что данные функции корреляции удовлетворяют условию стационарности (не зависят от времени, но лишь от временного сдвига между сечениями процесса) и имеет одинаковую с исследуемым сигналом дисперсию.

(1.168)

Rx (т) = DJM [cos(wr)].

Зададимся теперь вопросом, как правильно выбрать значение частоты w?

Параметры же b\ и b2 выбираются из условия равенства дисперсий оцениваемого сигнала и модели.

Для этого разделим левую и правую части выражения для АКФ на DX.

px (т) = M [cos(w т)].

Пусть f(w) - плотность вероятности распределения случайной величины w, тогда

ад

M [cos(w т)] = J f (w) cos(w T)dw .

—ад

Но нормированная АКФ равна

ад

Px(т) = J f OO^wr)^ .

—ад

Из этого интегрального уравнения можно найти плотность распределения f(w) случайной величины w.

Однако, памятуя о том, что нормированная спектральная плотность стационарного случайного процесса и его нормированная АКФ связаны друг с другом парой преобразований Фурье:

1 ад

Sн (w) = 2~JPx (т) cos(w т)й?т

—ад

Rx (т) = DxM [cos^)].

Корреляционная функция не зависит от выбора параметров b\ и b2, но лишь от случайной частоты w. Напрашивается вывод о том, что плотность распределения случайной величины w численно должна быть равна

f (w) = S (w). (1.169)

То есть, случайные величины b\ и b2 и w, входящие в модель Чернецкого, должны представлять собой центрированные и независимые случайные величины.

Плотность распределения случайной величины w должна быть при этом равна нормированной спектральной плотности моделируемого сигнала.