Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

Неканоническая модель стационарного случайного сигнала(по Чернецкому)


Пусть имеем стационарный случайный сигнал X(t), который попытаемся описать моделью X(t), определяемую критериями
м [ X (t)]=M[XM (t)], (1.163)
D[ X (t)] = D[XM (t)], (1.164)
Rx (т) = RM (т). (1.165)
Модель стационарного случайного процесса можно предположить в следующем виде:
X(t) = mx + bj sin(wt) + b2 cos(wt) , (1.166)
где b1, b2 , w - центрированные, независимые случайные величины.
Эту модель можно представить в виде
п—г ( (О!
X(t) = mx +Jbj2 + b22 * sin wt + arctg — .
b
V VW2 JJ
То есть, случайный процесс представляет аддитивную смесь постоянной составляющей и суммы гармоник со случайными амплитудами, частотами и фазами.
В данной модели компактность достигается за счет того, что частота носит случайный характер. В этом и заключается ее основное отличие от канонической модели Пугачева.
Для центрированного случайного сигнала модель имеет вид.
о
Хм (t) = bj sin(wt) + b2 cos(wt).
Найдем дисперсию модели
о2
Xm(t)
DM = M
Хм(t) = bj2 sin2(wt) + 2bjb2 sin(wt)cos(wt) + b22 cos2(wt) = = bj2 sin2(wt) + bjb2 sin(2wt) + b22 cos2(wt) =
, и b2 sin(2wt) + b22 ™2' bj2 sin2(wt) + bjb2 sin(2wt) + b22b22 sin(wt) ^ + b:b2
(bj2 — b22) sin2(wt) + b22 + bjb2 sin(2wt).
В соответствии с этой формулой находим дисперсию:
DM = M[(b2 — b22)]*M[sin2(wt)]+M[b22 ]+M[bx ]*M[b2 ]*M[j/]
{M [bj2 ]—M [b22 ]}* M [sin2(wt)]+M [b22 ]+ 0
т.к bi и b2 центрированны.
Должно выполняться условие: DM = DX, то есть
{м[b2 ]—M[b22 ]}* M[sin2(wt)]+M[b22 ]= Dx. (1.167)
Левая часть не должна зависеть от времени. Это выполняется, когда , М[bj2 ] = М[b22 ], тогда М[b22 ] = Dx, таким образом
М [bj2 ] = М [b2 ]= Dx.
То есть, случайные величины, входящие в модель Чернецкого могут быть любыми, но непременно центрированными и с равными дисперсиями, которые, в свою очередь, должны быть равными дисперсии моделируемого сигнала.
Напомним еще об одном требовании, которому должна удовлетворять модель - равенства корреляционных функций исследуемого сигнала и модели:
Rx (т) = RM (т)
оо
RM (т) = М
Хм (t) X M (t —т)
Хм (t) = bj sin(wt) + b2 cos(wt);
о
Хм (t — т) = bj sin(w(t — т)) + b2 cos(w(t — т));
о 0
Хм (t)Хм (t — т) = bj2 sin(wt)sin(w(t — т)) + bjb2 sin(wt)cos(w(t — т)) + bjb2 cos(wt)sin(w(t — т)) + b22 cos(wt)cos(w(t — т)) RM (т) = M [bj2 M [sin(wt) sin(w(t — т))] +
+ M [bj ]M [b2 ]M [sin(wt) cos(w(t — т))] + + M [bj ]M [b2 ]M [cos(wt) sin( w(t — т))] +
M [b22 ]M [cos(wt) cos(w(t — т))]
Но так как b1 и b2 являются центрированными случайными величинами, то их математическое ожидания равны нулю, и тогда
RM (т) = м [bj2 М [sin(wt) sin( w(t — т))] + +М [b22 ]м [cos(wt) cos(w(t — т))] =
= DxM [sin(wt) sin( w(t — т))] + DxM [cos(wt) cos(w(t — т))] = = DxM [cos(wt)]
Следует отметить, что данные функции корреляции удовлетворяют условию стационарности (не зависят от времени, но лишь от временного сдвига между сечениями процесса) и имеет одинаковую с исследуемым сигналом дисперсию.
(1.168)
Rx (т) = DJM [cos(wr)].
Зададимся теперь вопросом, как правильно выбрать значение частоты w?
Параметры же b\ и b2 выбираются из условия равенства дисперсий оцениваемого сигнала и модели.
Для этого разделим левую и правую части выражения для АКФ на DX.
px (т) = M [cos(w т)].
Пусть f(w) - плотность вероятности распределения случайной величины w, тогда
ад
M [cos(w т)] = J f (w) cos(w T)dw .
—ад
Но нормированная АКФ равна
ад
Px(т) = J f OO^wr)^ .
—ад
Из этого интегрального уравнения можно найти плотность распределения f(w) случайной величины w.
Однако, памятуя о том, что нормированная спектральная плотность стационарного случайного процесса и его нормированная АКФ связаны друг с другом парой преобразований Фурье:
1 ад
Sн (w) = 2~JPx (т) cos(w т)й?т
—ад
Rx (т) = DxM [cos^)].
Корреляционная функция не зависит от выбора параметров b\ и b2, но лишь от случайной частоты w. Напрашивается вывод о том, что плотность распределения случайной величины w численно должна быть равна
f (w) = S (w). (1.169)
То есть, случайные величины b\ и b2 и w, входящие в модель Чернецкого, должны представлять собой центрированные и независимые случайные величины. При этом дисперсии величин b\ и b2 должны быть равными друг другу и равны дисперсии исследуемого сигнала.
Плотность распределения случайной величины w должна быть при этом равна нормированной спектральной плотности моделируемого сигнала.
<< | >>
Источник: Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н.. Методы и средства оперативного анализа случайных процессов:Учебное пособие. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ. 2004

Еще по теме Неканоническая модель стационарного случайного сигнала(по Чернецкому):

  1. Неканоническая модель стационарного случайного сигнала(по Чернецкому)