Стационарные случайные процессы

о

центрированного процесса X(t) = X(t) - mx (t) в моменты времени t и t+т. То есть, математическое ожидание mx(t) и автокорреляционная функция Rx(t,t+i) процесса {X(t)} (фигурные скобки означают ансамбль реализаций) определяются из соотношений

1 N

mx (t) = lim - ^ X, (t), (1.59)

1 N 0 0 R (t, t + T) = lim - ? Xk (t) X(t + T) ,

причем при суммировании предполагается, что появление всех реализаций равновероятно. В общем случае, когда функции mx(t) и Rx(t,t+i) меняются с изменением момента времени t, случайный процесс {X(t)} называется нестационарным. В частном случае независимости mx(t) и Rx(t,t+i) от t, случайные процесс {X(t)} называется стационарным в широком смысле. Математическое ожидание такого процесса постоянно, а автокорреляционная функция представляет собой функцию единственной переменной - временного сдвига между сечениями процесса, то есть mx(t)=mx, Rx(t,t+i)=Rx.

Для случайного процесса {X(t)} можно отыскать бесконечное множество начальных и центральных (в том числе и смешанных) моментов; их совокупность полностью описывает плотность распределения процесса.

t + T

t + T

(OA

A

t + T

Рисунок 16 - Ансамбль реализаций, образующих случайный процесс

Любой процесс, стационарный в узком смысле, является стационарными и в широком, но не наоборот.