<<
>>

Спектральное представление стационарного случайного сигнала, рассматриваемого на неограниченном интервале времени

Пусть имеем стационарный случайный сигнал X(t), рассматриваемый на интервале времени 0<<ш.
Для описания его частотных свойств введем в рассмотрение отношение дисперсии к-й гармоники к ширине полосы частот между двумя близлежащими спектральными линиями.
D ш D ш D
Rx (T) = ^L + ? DLejkwT+^ —^e ~jkwT =
2 k=1 2 k=1 2 ш — ш —
ZZ_LejkwT + ?_Le - jkwT
k=0 2 k=1 2 Заменим во второй сумме к на -к:
ш D -1 D
R.x(T) = ? —kejbvT + ? -±ejkwT
k=0 2 k=-o> 2
но Dk=D-k. Тогда
ш D -1 D ш D
?±2.ejkwT + ? D^elkwT = ? ^ejkwT (1.133)
k=0 2 k=-o> 2 k=-o> 2
Таким образом частота w численно равна расстоянию между спектральными линиями, то можно сделать формальную замену:
ш D
Rx(T) = ? ^e^ . (1.134)
k=-o> 2
В свою очередь 1 T
Dx =— f RXT) cos(kAw T)dt. (1.135)
T -T
Найдем отношение
D 1 t
-L = _ IRx (T)cos(kAwT)dT = S*(kAw). (1.136)
Aw n -T
Это - функция kAw, обладающая свойствами:
S * (-kAw) = S * (kAw),
*
то есть S (kAw) - четная функция своего аргумента, кроме того, она неотрицательна.
Перейдем от Dk к введенной нами функции:
Dk = AwS * (kAw)
1T
S* (kAw) = - IRx (T)cos(kAwT)dT, (1.137)
2 -T
ад
Rx (T) = -2 X S* (kAw)eikAwT Aw . (1.138)
k=-ад
*
Устремим Aw к нулю, а интервал времени Т к бесконечности. S (kAw) при неограниченном увеличении времени наблюдения называется спектральной плотностью.
Rx(T) = -2 JS*(u)exp(juT)du
21-адад (1139)
S*(u) = — |Rx(T)cos(uT)dT.
77" J
Вместо аргумента u и введем w:
1 ад
Rx (T) = 2 IS *(w) exP(jw T)dw
* 21-адад (1140)
S *(w) = — | Rx (T)cos(wT)dT.
77" J
Спектральная плотность мощности (СПМ) случайного сигнала обладает теми же свойствами: она является неотрицательной и четной функцией частоты.
Для того чтобы АКФ можно было представить в виде Фурье - преобразования от СПМ, переобозначим ее:
S (w) = ^М (1.141)
В формулах произойдут следующие изменения
ад
Rx (T) = 1 J S * (w) eXP(jw T)dw
(1.142)
J
-ад
1 ад
S *(w) = — | Rx (T)cos(wT)dT.
0 tt j
'x л
-ад
jwt . - jwt
eJ + e J
Рассмотрим свойства новой спектральной плотности: cos(w т) =
ад 1 ад
J Rx (T)cos(wT)dT = — J Rx (т)ехр( jw T)dT-
-ад
ад
1
+
-ад
1ад
2 J Rx (T)exP(-jwT)dT.
-ад
В первом интеграле сделаем замену аргумента на противоположный по знаку и т.к. Rx (т) = Rx (-т), то
ад 1 ад
JRx (T)cos(wT)dT = 2 JRx (T)exp(- jw T)dT +
-ад -ад
1 ад ад
2 JRx (T)exP(-jwT)dT = JRx (T)exP(-jwT)dT ,
+ 2
ад
-ад
то есть спектральная плотность может быть записана в виде:
ад
S(w) = — JRx (T)exP(-jwT)dT . (1.143)
2n_
Вывод: АКФ и СПМ связаны между собой парой преобразований Фурье.
Сделаем подстановку: exp(jwT)=cos(wT) + jsin(wT), тогда
адад
Rx (т) = J S(w) cos(w ))dw + j J S(w) sin(w ))dw,
-ад -ад
но так как СПМ является четной функцией, а синус - нечетной, то второй интеграл равен нулю, и тогда
ад
Rx(T) = JS(w)cos(w))dw ,
-ад
си
(1.144)
Rx (t) = 2f S (w)cos(wT)dw
то есть: <
0
1 X
S (w) = — f Rx (T)cos(wT)dw
Укажем некоторое свойства спектральной плотности мощности. Во- первых, СПМ является четной функцией своего аргумента
S (w) = S (-w),
во-вторых, спектральная плотность - неотрицательная функция:
S 9w) > 0
и в третьих, вычислим дисперсию сигнала:
Dx = Rx (0) = fS(w)dw . (1.145)
То есть, интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии (полной мощности) сигнала. Это - условие нормировки.
<< | >>
Источник: Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н.. Методы и средства оперативного анализа случайных процессов:Учебное пособие. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ. 2004

Еще по теме Спектральное представление стационарного случайного сигнала, рассматриваемого на неограниченном интервале времени:

  1. Спектральное представление стационарного сигнала, рассматриваемого на ограниченном интервале времени
  2. Спектральное представление стационарного случайного сигнала, рассматриваемого на неограниченном интервале времени