Спектральное представление стационарного случайного сигнала, рассматриваемого на неограниченном интервале времени

Для описания его частотных свойств введем в рассмотрение отношение дисперсии к-й гармоники к ширине полосы частот между двумя близлежащими спектральными линиями.

D ш D ш D

Rx (T) = ^L + ? DLejkwT+^ —^e ~jkwT =

2 k=1 2 k=1 2 ш — ш —

ZZ_LejkwT + ?_Le - jkwT

k=0 2 k=1 2 Заменим во второй сумме к на -к:

ш D -1 D

R.x(T) = ? —kejbvT + ? -±ejkwT

k=0 2 k=-o> 2

но Dk=D-k.

ш D -1 D ш D

?±2.ejkwT + ? D^elkwT = ? ^ejkwT (1.133)

k=0 2 k=-o> 2 k=-o> 2

Таким образом частота w численно равна расстоянию между спектральными линиями, то можно сделать формальную замену:

ш D

Rx(T) = ? ^e^ . (1.134)

k=-o> 2

В свою очередь 1 T

Dx =— f RXT) cos(kAw T)dt. (1.135)

T -T

Найдем отношение

D 1 t

-L = _ IRx (T)cos(kAwT)dT = S*(kAw). (1.136)

Aw n -T

Это - функция kAw, обладающая свойствами:

S * (-kAw) = S * (kAw),

*

то есть S (kAw) - четная функция своего аргумента, кроме того, она неотрицательна.

Перейдем от Dk к введенной нами функции:

Dk = AwS * (kAw)

1T

S* (kAw) = - IRx (T)cos(kAwT)dT, (1.137)

2 -T

ад

Rx (T) = -2 X S* (kAw)eikAwT Aw . (1.138)

k=-ад

*

Устремим Aw к нулю, а интервал времени Т к бесконечности. S (kAw) при неограниченном увеличении времени наблюдения называется спектральной плотностью.

Rx(T) = -2 JS*(u)exp(juT)du

21-адад (1139)

S*(u) = — |Rx(T)cos(uT)dT.

77" J

Вместо аргумента u и введем w:

1 ад

Rx (T) = 2 IS *(w) exP(jw T)dw

* 21-адад (1140)

S *(w) = — | Rx (T)cos(wT)dT.

77" J

Спектральная плотность мощности (СПМ) случайного сигнала обладает теми же свойствами: она является неотрицательной и четной функцией частоты.

Для того чтобы АКФ можно было представить в виде Фурье - преобразования от СПМ, переобозначим ее:

S (w) = ^М (1.141)

В формулах произойдут следующие изменения

ад

Rx (T) = 1 J S * (w) eXP(jw T)dw

(1.142)

J

-ад

1 ад

S *(w) = — | Rx (T)cos(wT)dT.

0 tt j

'x л

-ад

jwt . - jwt

eJ + e J

Рассмотрим свойства новой спектральной плотности: cos(w т) =

ад 1 ад

J Rx (T)cos(wT)dT = — J Rx (т)ехр( jw T)dT-

-ад

ад

1

+

-ад

1ад

2 J Rx (T)exP(-jwT)dT.

-ад

В первом интеграле сделаем замену аргумента на противоположный по знаку и т.к.

ад 1 ад

JRx (T)cos(wT)dT = 2 JRx (T)exp(- jw T)dT +

-ад -ад

1 ад ад

2 JRx (T)exP(-jwT)dT = JRx (T)exP(-jwT)dT ,

+ 2

ад

-ад

то есть спектральная плотность может быть записана в виде:

ад

S(w) = — JRx (T)exP(-jwT)dT . (1.143)

2n_

Вывод: АКФ и СПМ связаны между собой парой преобразований Фурье.

Сделаем подстановку: exp(jwT)=cos(wT) + jsin(wT), тогда

адад

Rx (т) = J S(w) cos(w ))dw + j J S(w) sin(w ))dw,

-ад -ад

но так как СПМ является четной функцией, а синус - нечетной, то второй интеграл равен нулю, и тогда

ад

Rx(T) = JS(w)cos(w))dw ,

-ад

си

(1.144)

Rx (t) = 2f S (w)cos(wT)dw

то есть: <

0

1 X

S (w) = — f Rx (T)cos(wT)dw

Укажем некоторое свойства спектральной плотности мощности. Во- первых, СПМ является четной функцией своего аргумента

S (w) = S (-w),

во-вторых, спектральная плотность - неотрицательная функция:

S 9w) > 0

и в третьих, вычислим дисперсию сигнала:

Dx = Rx (0) = fS(w)dw . (1.145)

То есть, интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии (полной мощности) сигнала. Это - условие нормировки.