Математическое описание системы двух случайных сигналов
Рисунок 18 - Возможные изменения нормированной АКФ в зависимости от интервала времени между реализациями
Если совместная плотность распределения всех сечений этих сигналов не изменяются при прибавлении ко всем временным аргументам одной и той же величины, то эти сигналы называются стационарными и стационарно- связанными.
Рассмотрим приближенное описание свойств системы двух сигналов.
Для этого будем использовать моментные характеристики.Для каждого из сигналов указывают его математическое ожидание и
АКФ:
mx(t), my(t); Rx(tb t2), Ry(t1, t2).
еще одна: взаимная
Кроме этих характеристик вводится корреляционная функция Rxy(t1, t2) (ВКФ).
Взаимной корреляционной функцией между двумя сигналами {X(t)} и {Y(t)} называется такая функция времени, которая при фиксированных значениях временных аргументах равна математическому ожиданию произведения соответствующих сечений этих сигналов:
(Y t1) °X(t 2)
(1.84)
Rx, у (t1,12) = M
Иногда вместо этой функции используют нормированную ВКФ:
M
ДО X(t 2)
(1.85)
Pxy 12 ) =
Ryx (^ 12) _
^у (t1)^x (t2 ) ^у (t1)^x (t2 )
это коэффициент корреляции
Как видно из формулы (1.85), pyx между сечениями Y(t1) и X(t2).
Рассмотрим свойства этих функций: 1. Ру, (t1,12) = Р,у (t1,12), так как
(1.86)
Y (О X (t 2)
X (t 2) Y (O
Ryx = M
= M
= Rxy (t2 , t1).
Взаимная корреляционная функция несимметрична относительно своих аргументов.
Pyx (t1,12 ) = Pxy (t 2, t1).
2.
Ryx ft,12 ) <^y Ox (t2 )(1.87)
Pyx ft, 12) < 1.
3. При одинаковых значениях временных аргументов:
' 0 0
Y (t) X (t)
(1.88)
Ryx (t, t) = M
= Dx (t)- взаимная дисперсия.
Ryx (t\, 12) описывает степень линейной статистической взаимосвязи между временными сечениями различных сигналов.
Пусть t2 - t1 =т - интервал времени между сечениями.
Рисунок 19 - Графики зависимостей АКФ и ВКФ от интервала времени
между сечениями
АКФ симметрична, и для ее описания можно изучать только одну ветвь, а в случае ВКФ необходимо исследовать обе ветви.
Нормированная ВКФ достигает своего максимума при то, то есть два сигнала наиболее линейно связанные при этом сдвиге между их временными сечениями.
Если рух (т) = 1, то сигналы X(t) и Y(t) связаны линейной функциональной зависимостью при т=т0. Все понятия можно обобщить на
случай системы произвольного числа сигналов {Xi(t)}, i = 1, N
Для этого достаточно установить mxi(t) - математические ожидания всех сигналов;
Rxi(t1, t2) - АКФ всех сигналов;
Ryi, xi(t1, t2) -ВКФ между всеми парами сигналов.
Математическое описание стационарных случайных сигналов
Пусть имеем случайный процесс {X(t)}, который является стационарным. При этом его одномерная плотность вероятности будет зависеть только от X, и не будет зависеть от времени:
f (X, t) = f (X). (1.89)
Не будут зависеть от времени и все начальные и центральные моменты:
ak(t) = ak
и, в частности, дисперсия
Dx (t) = ^2 = Dx.
Для АКФ справедливо следующее соотношение: Rx(t1, t2) = Rx(t1 - t2), то есть АКФ зависит не от начала отсчета, а лишь от сдвига между временными сечениями.
Дисперсия характеризует мощность случайного сигнала, например: i(t) = X(t), P(t) = i2(t)* R, M[P(t)] = R * M[X2(t)].
То есть, если предположить, что сигнал центрирован, то это выражение представляет его дисперсию (мощность, выделяемую на единичной нагрузке).
Рассмотрим АКФ стационарного случайного сигнала:
12 — t, = т, Rx (t 2 — t,) = Rx (т).
1. По величине АКФ процесса не может превышать его дисперсию:
Rx (т) < Dx = a2x
АКФ - четная функция своего аргумента:
Rx (т) = Rx (-т).
АКФ при нулевом аргументе равна дисперсии сигнала:
Rx (0) = Dx .
Для нормированной корреляционной функции эти свойства трансформируются следующим образом:
Px (т) =< 1;
Px(т) = Px(-т);
Px(0) = 1.
Общим для АКФ и нормированной АКФ стационарного случайного сигнала является то, что при неограниченном увеличении временного сдвига между сечениями обе они стремятся к нулю:
lim Rx (it) = lim Px (т) = 0.
т^ад t ^ад
При описании свойств стационарного процесса часто указывают такой интервал времени, начиная с которого можно считать px = 0.
Это интервал корреляции, который принято обозначать тк. тк показывает, в каком промежутке времени сечения сигнала сильно коррелированны (при т >тк эти сечения считаются некоррелированными ). Кроме того интервал корреляции часто несет информацию о частотных свойствах сигнала, определяя длительность АКФ во времени.Рассмотрим методы определения тк .
1. Выбирается малая величина S<<1, и на расстоянии от оси времени проводят две прямые, параллельные этой оси (в соответствии с рисунком 20).
подход)
Тот момент времени, начиная с которого удовлетворяется условие: \рх (г)| <8 принимают за тк . Величину 8 обычно принимают равной 2 - 5 % от 1.
2. На оси времени как на основании строится прямоугольник, высота которого равна единице, а площадь равна площади всей фигуры под кривой нормированной АКФ ( в соответствии с рисунком 21).
ад
г, = \рх (T)dT. (1.90)
о
Этот метод применяется для определения тх монотонных, не знакопеременных АКФ.
Рисунок 21 - Определение интервала корреляции (формантный
подход)
Для вычисления знакопеременных АКФ принято использовать следующие три подхода:
ад
тк =JPx(r)|dr; (1.91)
0 ад
\ =j|px2(r)|dr; (1.92)
0
rx = -UN--, (1.93)
un — 1
где juN - момент АКФ, определяемый соотношением:
ад
UN = J\N Px(r)dr;
N - любое целое положительное число.
Из приведенных методов наиболее часто на практике используется четвертый.
Посмотрим, какой из приведенных способов дает наибольшее значение интервала корреляции:
ад ад
Tk1 = JPx (r)dr < J|Px (r)d = Tk2 ,
0 0
ад ад ад
Tk3 = JPx2(r)dr = JlPx (r)||Px (r)|dr < JlPx (r)dr = Tk2 ,
0 0 0
так как |px (t )| < 1.
Таким образом, rk1 < rk2; rk3 < rk2.
Пример.
Пусть имеем стационарный случайный процесс X (t) c нормированной корреляционной функцией
Px (T) = *a
и определим его интервал корреляции первыми четырьмя способами:
*-a\T\=5; —ar = ln5; rk = — ln—.
а5
То есть, чем больше а, тем круче спадает АКФ, и тем меньше величина интервала корреляции.
ад
1
1
ад
= * -aTdr =
rk1 =
'; Tk 2 =
= *-aTdr =
a
a
ад
Tk 3 =
J * 2aTdr = —1—.
2a