Математическое описание системы двух случайных сигналов

Рисунок 18 - Возможные изменения нормированной АКФ в зависимости от интервала времени между реализациями

Если совместная плотность распределения всех сечений этих сигналов не изменяются при прибавлении ко всем временным аргументам одной и той же величины, то эти сигналы называются стационарными и стационарно- связанными.

Рассмотрим приближенное описание свойств системы двух сигналов.

Для каждого из сигналов указывают его математическое ожидание и

АКФ:

mx(t), my(t); Rx(tb t2), Ry(t1, t2).

еще одна: взаимная

Кроме этих характеристик вводится корреляционная функция Rxy(t1, t2) (ВКФ).

Взаимной корреляционной функцией между двумя сигналами {X(t)} и {Y(t)} называется такая функция времени, которая при фиксированных значениях временных аргументах равна математическому ожиданию произведения соответствующих сечений этих сигналов:

(Y t1) °X(t 2)

(1.84)

Rx, у (t1,12) = M

Иногда вместо этой функции используют нормированную ВКФ:

M

ДО X(t 2)

(1.85)

Pxy 12 ) =

Ryx (^ 12) _

^у (t1)^x (t2 ) ^у (t1)^x (t2 )

это коэффициент корреляции

Как видно из формулы (1.85), pyx между сечениями Y(t1) и X(t2).

Рассмотрим свойства этих функций: 1. Ру, (t1,12) = Р,у (t1,12), так как

(1.86)

Y (О X (t 2)

X (t 2) Y (O

Ryx = M

= M

= Rxy (t2 , t1).

Взаимная корреляционная функция несимметрична относительно своих аргументов.

Pyx (t1,12 ) = Pxy (t 2, t1).

2.

(1.87)

Pyx ft, 12) < 1.

3. При одинаковых значениях временных аргументов:

' 0 0

Y (t) X (t)

(1.88)

Ryx (t, t) = M

= Dx (t)- взаимная дисперсия.

Ryx (t\, 12) описывает степень линейной статистической взаимосвязи между временными сечениями различных сигналов.

Пусть t2 - t1 =т - интервал времени между сечениями.

Рисунок 19 - Графики зависимостей АКФ и ВКФ от интервала времени

между сечениями

АКФ симметрична, и для ее описания можно изучать только одну ветвь, а в случае ВКФ необходимо исследовать обе ветви.

Нормированная ВКФ достигает своего максимума при то, то есть два сигнала наиболее линейно связанные при этом сдвиге между их временными сечениями.

Если рух (т) = 1, то сигналы X(t) и Y(t) связаны линейной функциональной зависимостью при т=т0. Все понятия можно обобщить на

случай системы произвольного числа сигналов {Xi(t)}, i = 1, N

Для этого достаточно установить mxi(t) - математические ожидания всех сигналов;

Rxi(t1, t2) - АКФ всех сигналов;

Ryi, xi(t1, t2) -ВКФ между всеми парами сигналов.

Математическое описание стационарных случайных сигналов

Пусть имеем случайный процесс {X(t)}, который является стационарным. При этом его одномерная плотность вероятности будет зависеть только от X, и не будет зависеть от времени:

f (X, t) = f (X). (1.89)

Не будут зависеть от времени и все начальные и центральные моменты:

ak(t) = ak

и, в частности, дисперсия

Dx (t) = ^2 = Dx.

Для АКФ справедливо следующее соотношение: Rx(t1, t2) = Rx(t1 - t2), то есть АКФ зависит не от начала отсчета, а лишь от сдвига между временными сечениями.

Дисперсия характеризует мощность случайного сигнала, например: i(t) = X(t), P(t) = i2(t)* R, M[P(t)] = R * M[X2(t)].

То есть, если предположить, что сигнал центрирован, то это выражение представляет его дисперсию (мощность, выделяемую на единичной нагрузке).

Рассмотрим АКФ стационарного случайного сигнала:

12 — t, = т, Rx (t 2 — t,) = Rx (т).

1. По величине АКФ процесса не может превышать его дисперсию:

Rx (т) < Dx = a2x

АКФ - четная функция своего аргумента:

Rx (т) = Rx (-т).

АКФ при нулевом аргументе равна дисперсии сигнала:

Rx (0) = Dx .

Для нормированной корреляционной функции эти свойства трансформируются следующим образом:

Px (т) =< 1;

Px(т) = Px(-т);

Px(0) = 1.

Общим для АКФ и нормированной АКФ стационарного случайного сигнала является то, что при неограниченном увеличении временного сдвига между сечениями обе они стремятся к нулю:

lim Rx (it) = lim Px (т) = 0.

т^ад t ^ад

При описании свойств стационарного процесса часто указывают такой интервал времени, начиная с которого можно считать px = 0.

Рассмотрим методы определения тк .

1. Выбирается малая величина S<<1, и на расстоянии от оси времени проводят две прямые, параллельные этой оси (в соответствии с рисунком 20).

подход)

Тот момент времени, начиная с которого удовлетворяется условие: \рх (г)| <8 принимают за тк . Величину 8 обычно принимают равной 2 - 5 % от 1.

2. На оси времени как на основании строится прямоугольник, высота которого равна единице, а площадь равна площади всей фигуры под кривой нормированной АКФ ( в соответствии с рисунком 21).

ад

г, = \рх (T)dT. (1.90)

о

Этот метод применяется для определения тх монотонных, не знакопеременных АКФ.

Рисунок 21 - Определение интервала корреляции (формантный

подход)

Для вычисления знакопеременных АКФ принято использовать следующие три подхода:

ад

тк =JPx(r)|dr; (1.91)

0 ад

\ =j|px2(r)|dr; (1.92)

0

rx = -UN--, (1.93)

un — 1

где juN - момент АКФ, определяемый соотношением:

ад

UN = J\N Px(r)dr;

N - любое целое положительное число.

Из приведенных методов наиболее часто на практике используется четвертый.

Посмотрим, какой из приведенных способов дает наибольшее значение интервала корреляции:

ад ад

Tk1 = JPx (r)dr < J|Px (r)d = Tk2 ,

0 0

ад ад ад

Tk3 = JPx2(r)dr = JlPx (r)||Px (r)|dr < JlPx (r)dr = Tk2 ,

0 0 0

так как |px (t )| < 1.

Таким образом, rk1 < rk2; rk3 < rk2.

Пример.

Пусть имеем стационарный случайный процесс X (t) c нормированной корреляционной функцией

Px (T) = *a

и определим его интервал корреляции первыми четырьмя способами:

*-a\T\=5; —ar = ln5; rk = — ln—.

а5

То есть, чем больше а, тем круче спадает АКФ, и тем меньше величина интервала корреляции.

ад

1

1

ад

= * -aTdr =

rk1 =

'; Tk 2 =

= *-aTdr =

a

a

ад

Tk 3 =

J * 2aTdr = —1—.

2a