Обобщенный подход к описанию детерминированных сигналов

N

xm (t) = (t), (1.55)

k

где:

фк(0 - координатные (базисные функции);

^к - параметры модели сигнала или коэффициенты разложения сигнала, то есть всегда существует разница

Xm (t) - x(t).

Станем рассматривать сигнал на 0 < t < T отрезке, а в качестве критерия адекватности модели возьмем величину Д= J { (t) — x(t)}2 dt - квадратичную

Jo

погрешность или взвешенную квадратичную погрешность

T 2

8 = J {(t) — x(t)}p(t)dt, (1.56)

Jo

p(t) - весовая функция, выбираемая из технических условий и вводимая для того, чтобы на данном временном отрезке обеспечить наилучшую адекватность модели.

8 = J' x2m (t) p(t )dt — 2 Jr xm (t) p(t )dt + Jr x2 (t) p(t )dt.

Jo Jo Jo

Рассмотрим 8 как функцию параметров модели Л: S>0, 8 - квадратичная форма и поэтому имеет единственный экстремум.

Условия экстремума функции нескольких переменных:

= 0, (m = o, N)

2JTxm (t) p(t)dt — 2fo^d^lx(t)p(t)dt = 0

д8

дЛ,

8= 2JTx (t) ЪМ p(t)dt — 2JT ^

дЛm Jo mW дл^ Jo дЛт ^ = ( (t), JT xm (t) ^ p(t)dt = JT ^ x(t)p(t)dt.

дЛm J0 дЛm J° дЛm

Однако, подставляем в наше выражение: 2JT xm (t )pm (t) p(t )dt = 2JT pm (t) x(t) p(t )dt, и подставляем это в выражение для модели

xm (t) = ? \PK (t)

k=0

N T t

? Л k 2 J0 {( k (t) P m (t) p (t) dt }— 2 f p m (t) x (t) p ( t ) dt = 0 . (1.57)

J 0 J m

k = 0

То есть, чтобы отыскать параметры Лк, необходимо решить систему (N+1) уравнений с (N+1) неизвестными, что достаточно неудобно.

Если выполняется условие ортогональности базисных функций,

гт Г 0, k Ф m

J0 Pk (t)Pm (t)p(t)dt 4 (t) (t) (t)d e k

J° [Pk (t)Pm (t)p(t)dt = Pm , k = m

то наше выражение примет вид:

Лm J- fT

KPm -J0 Pm (t)x(t)p(t)dt = 0.

Таким образом, система уравнений сводится к совокупности (N+1) уравнений, каждое из которых имеет единственное неизвестное, которое может быть найдено:

1 Т

К —J0 (Pm(t)x(t)p(t)dt. (1.58)