1.1 Математическое описание динамических систем
То преобразование, которое осуществляется системой, называется оператором системы. Если система имеет оператор А, то
7 (t) = A{X (t)}.
Все операторы можно разделить на:
линейные, производящие линейные преобразования входных сигналов;
нелинейные.
Линейные в свою очередь подразделяются на:
линейно-однородные
линейно-неоднородные.
Линейно-однородными называются операторы, удовлетворяющие условию:
Г N ] N
Ъгхг (t )l = 2 L[biXi (t)}.
I i=1 J i=1
Линейно-неоднородные имеют вид: L{X (t )}= L{X (t )}+^(t),
то есть, любой такой оператор представляет собой сумму линейно- однородного оператора с некоторой функцией времени.
Примеры линейно-однородных операторов:
Y(t) = K * X(t),
7 (t)=dXia,
dt
t
Y(t) - J X(u)du .
0
Самый общий случай любого линейного преобразования - это решение дифференциального уравнения.
Системы, осуществляющие линейные преобразования, называют линейными динамическими системами (ЛДС), а системы, имеющие нелинейные операторы, - нелинейными динамическими системами (НДС).В зависимости от того, изменяются ли параметры и характеристики системы во времени, различают стационарные и нестационарные системы. Стационарной называется система, характеристики и параметры которой неизменны во времени. В противном случае система называется нестационарной.
В зависимости от того, непрерывно или дискретно сигнал поступает на вход системы и выдается с ее выхода, различают аналоговые и цифровые системы.
Идеальной называется система с постоянными параметрами, обладающая свойством линейности сигналов в двух определенных точках - на входе и на выходе, в точке определения реакции системы. Говорят, что система имеет постоянные параметры, если все свойства системы инвариантны во времени (то есть система стационарна). Например, простая пассивная электрическая цепь является системой с постоянными параметрами, если сопротивления, емкости и индуктивности всех ее элементов не меняются во времени.
Система линейна, если ее частотные характеристики обладают свойствами аддитивности и однородности. Понятие однородности означает, что реакция системы на любой сигнал, умноженный на некоторую постоянную, равна этой постоянной, умноженной на реакцию системы на входной сигнал.Запишем эти утверждения в аналитической форме. Пусть Y(t) - это реакция системы на входной сигнал X(t). Система линейна, если для двух любых входных сигналов X1(t) и X2(t) и постоянной C справедливы соотношения:
L{X 1(t) + X 2(t)} = L{X 1(t)} + L{X 2(t)}, L{C * X(t)}= C * L{X(t)}.
Первая из этих формул выражает свойство аддитивности, а вторая - однородности.
Гипотеза о постоянстве параметров вполне приемлема для многих физических систем, встречающихся на практике. Например, обычно не наблюдается заметных изменений основных характеристик электрических цепей или механических устройств в пределах любых представляющих практический интерес интервалов времени. Хотя такие системы встречаются далеко не всегда. Сопротивление электрического резистора может меняться вследствие сильного нагрева, а прочность сооружения может изменяться при повреждении, вызванном усталостью металла под воздействием непрерывной вибрации. Кроме того, некоторые физические системы конструируют именно как системы с переменными параметрами.
Большие ограничения накладывает гипотеза о линейности реальных систем. При наличии экстремальных условий на входе, передаточные характеристики всех реальных физических систем нелинейны. Тем не менее, не рискуя допустить больших ошибок, передаточные свойства многих
физических систем можно считать, по крайней мере, в некотором ограниченном диапазоне приложенного на входе воздействия, линейными.