1.1.4 Математическое описание ЛДС в частотной области

ад

W(jw) = Jh(t) exp(-jwt)dt.

-ад

Воспользуемся подстановкой Эйлера:

exp(- jwt) = cos wt - j sin wt,

адад

W(jw) = Jh(t) cos wtdt - j Jh(t) sin wtdt. (1.12)

-ад -ад

Первое из этих двух слагаемых представляет вещественную, а второе - мнимую частотную характеристики.

ад

Re W(jw) = J h(t) cos wtdt,

-ад ад

Im W(jw) = Jh(t) sin wtdt,

0

Re W(jw) = Re W(- jw); Im W(jw) = - Im W(jw) .

Частотная характеристика системы W(jw) может быть записана и в показательной форме:

W(jw) = | W(jw)| exp(-j y/(w))

\W (jw)\ = V Re2(jw) + Im2(jw) Im(jw)

y/(w) = arctg

Re(jw)

где |W(jw) - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), а w) -

фазочастотная характеристика системы.

Рассмотрим динамическую систему, описываемую дифференциальным уравнением:

any(n )(t) +... + a y (1)(t) + y(t) = bmX (m)(t) +... + x(t).

Подадим на ее вход гармонический сигнал

X (t) = A exp(jwt) = A(cos(wt) + j sin(wt)),

на выходе будет наблюдаться сигнал Y(t) = Ф(jw)Aexp(jwt): an (jw)n Ф( jw) A exp( jwt) +... + Ф( jw) A exp( jwt) = bm (jw)m A exp(jwt) +... + A exp(jwt)

y(k) (t) = (jw)k Ф(^) A exp(jwt) x(k )(t) = (jw)k A exp( jwt),

тогда

an (jw)n Ф(jw) +... + Ф(jw) = bm (jw)m +... +1

Ф( jw) = (¦+ +,' = W (jw),

an (jw)n +... +1

то есть, частотная характеристика ЛДС численно равна коэффициенту преобразования системы, если на ее вход подается гармонический сигнал:

X (t) = A exp( jwt)

Y(t) = W(jw)A exp(jwt) = {Re W(jw) - j Im W(jw)}(A cos wt + Aj sin wt) = Re W(jw)A cos wt + Im W(iw)A sin wt - j{Re W(jw)A sin wt - Im W(jw)A cos wt}.

Рассмотрим два случая:

а) X(t) = Acos wt, Y(t) = ReW(jw)Acos wt + ImW(jw)sin wt

то есть, вещественная частотная характеристика показывает, как преобразуется амплитуда входного сигнала в амплитуду выходного, синфазного с ним, а мнимая частотная характеристика показывает то же преобразование, но в амплитуду выходного сигнала, находящегося в квадратуре с выходным;

б) X(t) = Asin wt, Y(t) = ReW(jw)Asin wt - j ImW(jw)Acos wt.

Если на ее вход подается произвольный гармонический сигнал

X(t) = A sin(wt + ф ), то на выходе появляется сигнал, описываемый соотношением

(1.13)

Y(t) = A|W(jw) sin[wt + щ- (p(w)].

То есть, амплитудно-частотная характеристика показывает, как преобразуется амплитуда входного сигнала в амплитуду выходного, а ФЧХ показывает, какой сдвиг осуществляется системой на частоте w .

Чтобы получить более ясное представление о частотных характеристиках обычных физических систем, следует рассмотреть некоторые простые примеры.