Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

1.1.4 Математическое описание ЛДС в частотной области

Полное описание линейной динамической системы в частотной области дает рассмотренная выше частотная характеристика:
ад
W(jw) = Jh(t) exp(-jwt)dt.
-ад
Воспользуемся подстановкой Эйлера:
exp(- jwt) = cos wt - j sin wt,
адад
W(jw) = Jh(t) cos wtdt - j Jh(t) sin wtdt. (1.12)
-ад -ад
Первое из этих двух слагаемых представляет вещественную, а второе - мнимую частотную характеристики.
Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) представляет собой четную, а мнимая частота (МЧХ) - нечетную функцию частоты, то есть:
ад
Re W(jw) = J h(t) cos wtdt,
-ад ад
Im W(jw) = Jh(t) sin wtdt,
0
Re W(jw) = Re W(- jw); Im W(jw) = - Im W(jw) .
Частотная характеристика системы W(jw) может быть записана и в показательной форме:
W(jw) = | W(jw)| exp(-j y/(w))
\W (jw)\ = V Re2(jw) + Im2(jw) Im(jw)
y/(w) = arctg
Re(jw)
где |W(jw) - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), а w) -
фазочастотная характеристика системы.
Рассмотрим динамическую систему, описываемую дифференциальным уравнением:
any(n )(t) +... + a y (1)(t) + y(t) = bmX (m)(t) +... + x(t).
Подадим на ее вход гармонический сигнал
X (t) = A exp(jwt) = A(cos(wt) + j sin(wt)),
на выходе будет наблюдаться сигнал Y(t) = Ф(jw)Aexp(jwt): an (jw)n Ф( jw) A exp( jwt) +... + Ф( jw) A exp( jwt) = bm (jw)m A exp(jwt) +... + A exp(jwt)
y(k) (t) = (jw)k Ф(^) A exp(jwt) x(k )(t) = (jw)k A exp( jwt),
тогда
an (jw)n Ф(jw) +... + Ф(jw) = bm (jw)m +... +1
Ф( jw) = (¦+ +,' = W (jw),
an (jw)n +... +1
то есть, частотная характеристика ЛДС численно равна коэффициенту преобразования системы, если на ее вход подается гармонический сигнал:
X (t) = A exp( jwt)
Y(t) = W(jw)A exp(jwt) = {Re W(jw) - j Im W(jw)}(A cos wt + Aj sin wt) = Re W(jw)A cos wt + Im W(iw)A sin wt - j{Re W(jw)A sin wt - Im W(jw)A cos wt}.
Рассмотрим два случая:
а) X(t) = Acos wt, Y(t) = ReW(jw)Acos wt + ImW(jw)sin wt
то есть, вещественная частотная характеристика показывает, как преобразуется амплитуда входного сигнала в амплитуду выходного, синфазного с ним, а мнимая частотная характеристика показывает то же преобразование, но в амплитуду выходного сигнала, находящегося в квадратуре с выходным;
б) X(t) = Asin wt, Y(t) = ReW(jw)Asin wt - j ImW(jw)Acos wt.
Если на ее вход подается произвольный гармонический сигнал
X(t) = A sin(wt + ф ), то на выходе появляется сигнал, описываемый соотношением
(1.13)
Y(t) = A|W(jw) sin[wt + щ- (p(w)].
То есть, амплитудно-частотная характеристика показывает, как преобразуется амплитуда входного сигнала в амплитуду выходного, а ФЧХ показывает, какой сдвиг осуществляется системой на частоте w .
Чтобы получить более ясное представление о частотных характеристиках обычных физических систем, следует рассмотреть некоторые простые примеры.
<< | >>
Источник: Пивоваров Ю.Н., Тарасов В.Н., Селищев Д.Н.. Методы и средства оперативного анализа случайных процессов:Учебное пособие. - Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ. 2004

Еще по теме 1.1.4 Математическое описание ЛДС в частотной области:

  1. 1.1 Общее описание проблемы. Идентификация состояния процесса
  2. 1.3.1 Математическое описание алгоритма модели движения НКА
  3. 1.1 Математическое описание динамических систем
  4. Математическое описание ЛДС
  5. 1.1.1 Математическое описание ЛДС во временной области
  6. 1.1.4 Математическое описание ЛДС в частотной области
  7. 1.2 Математическое описание процессов (сигналов)
  8. 1.2.2 Математическое описание детерминированных сигналов
  9. Математическое описание непериодических сигналов
  10. 1.2.3 Математическое описание случайных процессов Классификация случайных процессов
  11. Математическое описание системы двух случайных сигналов
  12. Математическое описание систем случайных сигналов вчастотной области
  13. 2.2. Математическое описание объекта измерения. Понятие об объекте измерения и его математическом описании
  14. 2.2.1 Общий подход к математическому описанию объекта измерения
  15. 2.4 Математическое описание составляющих объекта измерения
  16. 1. Хаос: от интуитивных представлений до математического описания
  17. ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАГРУЗКИ И СМЕШИВАНИЯ В РОТОРНОМ СМЕСИТЕЛЕ С ЛОПАСТЯМИ ГЕЛИКОИДНОГО ТИПА
  18. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ В ШАРОВОЙ БАРАБАННОЙ МЕЛЬНИЦЕ СО СТУПЕНЧАТОЙ ФУТЕРОВКОЙ
  19. ГЛАВА 3. ФИЗИЧЕСКОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ СОЗДАНИЯ ХИМИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ ДЛЯ ВЫСОКОРЕСУРСНЫХ ИЗДЕЛИЙ