1.1.1 Математическое описание ЛДС во временной области
Дать обобщенное описание системы - это значит указать вид взаимосвязи между ее входным и выходным сигналами.
Y (t) = L{X (t)}. (1.1)
Если вид взаимосвязи известен, то свойства системы определены полностью.
Для описания систем во временной области вводится ряд характеристик, из которых наиболее распространенными являются:
импульсная переходная характеристика (ИПХ);
переходная функция.
Импульсная переходная характеристика системы - это ее реакция на сигнал в виде -5 - функции:
1 = 0 % 5(t) = L,=>; J5(')d' = ••
То есть, бесконечно короткий импульс, имеющий бесконечно большую амплитуду и площадь, равную единице.
X(t) = 5(t); Y(t) = L{5(t)} = h(t).
Переходная функция - это реакция системы на единичный скачок (функцию Хевисайда):
X (t) = 1(t); Y (t) = L{l(t )}= H (t)
Так как свойства системы не зависят от того, что подавать на ее вход, то эти характеристики можно однозначно связать между собой:
H (t) = J h(u)du + y/(t)
0
,, Ч dH (t) h(t) = ^- + W(t) d(t)
(зависит от начальных условий), (производная от Y(t)).
Подадим на вход системы сигнал X(t) = S(t -т0) в соответствии с
рисунком 1:
Y(t)
X(t)
t
t
т
т
о
о
Рисунок 1 - График ИПХ динамической системы.
Из графика видно, что система не является генератором, и ее выходной сигнал рано или поздно устремится к нулю.
Импульсная переходная характеристика ЛДС будет зависеть как от текущего времени, так и от момента подачи на вход системы 5 - функции. Удобно записать форму этой зависимости несколько иначе:
h (t, то) = h (t - то,то) = h (t - то, t).
Для рациональных систем справедливо:
h (t, То) = h (t - То),
то есть ИПХ системы зависит не от начального состояния, а лишь от момента подачи на ее вход импульса и момента рассмотрения t:
h (t, то) = h (t - то) = h(T). (1.2)
Для нестационарных динамических систем ИПХ является функцией двух аргументов.
В дальнейшем станем рассматривать и описывать только стационарные ЛД, для описания которых существует общая методика решения.
На рисунке 2 изображены различные виды импульсных характеристик.
У генераторных систем (рисунок 2в) ИПХ носит незатухающий характер, такие системы неустойчивы в отличие от систем с затухающими импульсными характеристиками ( рисунок 2а и 2б).
2а 2б 2в
Рисунок 2 - Различные виды импульсных переходных характеристик.
ИПХ устойчивой системы должна представлять абсолютно интегрируемую функцию, то есть она должна обладать следующими свойствами:
< с
1) J| h(r)dr
2)
lim h(r) = 0.
т^0
Зная ИПХ, можно составить суждение о быстродействии системы. Действительно, ИПХ существенно отличается от нуля не во всем диапазоне своего аргумента, а лишь в некоторой его части. Тот интервал, после которого ИПХ можно считать практически равной нулю, называется длительностью импульсной переходной характеристики и обозначается Tu .