1.1.1 Математическое описание ЛДС во временной области

Дать обобщенное описание системы - это значит указать вид взаимосвязи между ее входным и выходным сигналами.

Y (t) = L{X (t)}. (1.1)

Если вид взаимосвязи известен, то свойства системы определены полностью.

Для описания систем во временной области вводится ряд характеристик, из которых наиболее распространенными являются:

импульсная переходная характеристика (ИПХ);

переходная функция.

Импульсная переходная характеристика системы - это ее реакция на сигнал в виде -5 - функции:

1 = 0 % 5(t) = L,=>; J5(')d' = ••

То есть, бесконечно короткий импульс, имеющий бесконечно большую амплитуду и площадь, равную единице.

X(t) = 5(t); Y(t) = L{5(t)} = h(t).

Переходная функция - это реакция системы на единичный скачок (функцию Хевисайда):

X (t) = 1(t); Y (t) = L{l(t )}= H (t)

Так как свойства системы не зависят от того, что подавать на ее вход, то эти характеристики можно однозначно связать между собой:

H (t) = J h(u)du + y/(t)

0

,, Ч dH (t) h(t) = ^- + W(t) d(t)

(зависит от начальных условий), (производная от Y(t)).

Подадим на вход системы сигнал X(t) = S(t -т0) в соответствии с

рисунком 1:

Y(t)

X(t)

t

t

т

т

о

о

Рисунок 1 - График ИПХ динамической системы.

Из графика видно, что система не является генератором, и ее выходной сигнал рано или поздно устремится к нулю.

Импульсная переходная характеристика ЛДС будет зависеть как от текущего времени, так и от момента подачи на вход системы 5 - функции. Удобно записать форму этой зависимости несколько иначе:

h (t, то) = h (t - то,то) = h (t - то, t).

Для рациональных систем справедливо:

h (t, То) = h (t - То),

то есть ИПХ системы зависит не от начального состояния, а лишь от момента подачи на ее вход импульса и момента рассмотрения t:

h (t, то) = h (t - то) = h(T). (1.2)

Для нестационарных динамических систем ИПХ является функцией двух аргументов.

В дальнейшем станем рассматривать и описывать только стационарные ЛД, для описания которых существует общая методика решения.

На рисунке 2 изображены различные виды импульсных характеристик.

У генераторных систем (рисунок 2в) ИПХ носит незатухающий характер, такие системы неустойчивы в отличие от систем с затухающими импульсными характеристиками ( рисунок 2а и 2б).

2а 2б 2в

Рисунок 2 - Различные виды импульсных переходных характеристик.

ИПХ устойчивой системы должна представлять абсолютно интегрируемую функцию, то есть она должна обладать следующими свойствами:

< с

1) J| h(r)dr

2)

lim h(r) = 0.

т^0

Зная ИПХ, можно составить суждение о быстродействии системы. Действительно, ИПХ существенно отличается от нуля не во всем диапазоне своего аргумента, а лишь в некоторой его части. Тот интервал, после которого ИПХ можно считать практически равной нулю, называется длительностью импульсной переходной характеристики и обозначается Tu .