Вопросы синтеза оптимальных ЛДС

Таких критериев может быть много, например:

Dy=min- критерий минимума дисперсии помехи;

Dy/Dx=min критерий наилучшей помехозащищенности;

3) пусть Yu(t)- идеальное значение выходного сигнала, величина Y(t)- Yu(t) характеризует отклонение поведения системы от идеала, для практических целей ее использовать неудобно, так как она знакопеременна, поэтому воспользуемся другой, положительной: {Y (t) - Yu (t )}2, но она случайна, так что для характеристики отклонения возьмем ее математическое ожидание:

M[{Y (t) - Yu (t )}2 ] = A - среднеквадратическая погрешность.

A = min.

(1.211)

Соотношение (1.211) определяет так называемый среднеквадратический критерий.

Кроме перечисленных критериев можно использовать интегральный среднеквадратический критерий:

|м[{) - Yu (t)}2 }t = min, (1.212)

0

критерий максимального быстродействия и пр.

Можно решать две оптимизационные задачи:

параметрическая оптимизация;

строгая оптимизация.

Поставим задачу в общем виде.

0

искажается аддитивной помехой X (t) , то есть входной сигнал имеет вид:

X (t) = S (t) + X (t).

В идеале выходной сигнал определяется выражением:

ад

Yu (t) = Jh())S(t -))d). (1.213)

0

В качестве критерия адекватности будем использовать критерий минимума среднеквадратической погрешности.

Определим вид импульсной переходной характеристики системы h()), исходя из условия A = min, а далее по h()) станем строить структуру ЛДС.

ад

Y(t) = J h(t)X(t - ))d)

0

A - функционал от ).

Пусть h0()) - ИПХ оптимальный системы.

ад

Y(t) = J h0(t)X(t - ))d). (1.214)

0

Задачу будем решать методом неопределенных множителей Лагранжа: h()) = h0{)) + Xhhn ()), (1.215)

здесь X - произвольная величина, - ад < X < ад, h()) - произвольная функция.

h())| X=0 = h()), Y (t) = Y0 (t) + XYn (t),

где

ад

Y (t) = J h0(t) X (t - ))d), (1.216)

0

A = M[lY (t) + XYn (t) - Yu (t)}2 J . (1.217)

Рассмотрим A как функционал от X: A = f (X),

IX=0

dA dX

a|X=0 = M L{Y0 (t) - Yn (t )}2 J= A min; = 0.

X=0

Если это условие выполняется для любых hn ()), то h0()) - ИПХ оптимальной системы.

dX = м[2{Y0 (t) + XYn (t) - Yu (t)}Yn (t)] = 0 , dX

но X = 0, тогда

X M[2[t) - Yu (t)}Yn (t)] = 0,

dX

M[[ (t) - Yn (t)] - M[Yn (t) - Yu (t)] = 0 .

Подставим выражение для Y0(t) (1.214) и Yn (t) (1.216):

Y0 (t )Yn (t) = JJh0 (u)hn ())X (t - u) X (t - ))dud),

0 0

ад ад

Y0 (t )Yn (t) = ЦК (u )Yn (t )X (t - u)du

0

0 0

JJh0 (u)hn (T)X(t - u)X(t - z)dudz -JJh0) (u)Yn (t)X(t - u)dudr = 0

0 0 0 0

ад | ад |

J hn (u)J J h0 (u)M [X(t - u)X(t - T)]T - M[ (t)X(t - u)] ]du = 0 .

Это условие выполняется при любом виде h(T), если внутренний интеграл равен нулю.

ад

J h0 (u)M[X(t - u)X(t - T)]T- M[u (t)X(t - u)] = 0. (1.218)

0

Это - условие синтеза оптимальных динамических систем, из него определяется h(T)- оптимальная ИПХ. Уравнение (1.218) справедливо как для стационарных так и для нестационарных случайных сигналов.

В частном случае, когда полезный сигнал и помеха стационарны, математические ожидания, стоящие в левой части, не будут зависеть от времени, а лишь от разности временных аргументов.

M[X(t - u)X(t - T)] = Y(T - u) = Y(u -T) (1.219)

M[Yu (t)X(t - u)]=y(u). (1.220)

В этом случае наше уравнение примет вид:

ад

J h0T)^(u -T)dT = y(u). (1.221)

0

Это - классическое уравнение Винера-Хопфа.

В изображениях Лапласа соотношение между этими величинами будет выглядеть как:

Y(P) = W(p)Y(p), отсюда W(p) = ,

Y (P)

где:

Y( P) = J exP(-Pu )Y(U )du,

0

ад

Y (p) = Jy (u )exp(-pu )du.

0

Положим ф = 0, тогда

M[X(t)X(t - u)]= Y(u), M[ (t)X(t -u)]=Y(u).

Итак, если на выход системы подается аддитивная смесь полезного

0

сигнала и помехи X(t) = S(t) + X(t), то для синтеза оптимальной системы необходимо знать: сам полезный сигнал S(t), автокорреляционную функцию помехи, кроме того, нужно достаточно определенно знать, что именно мы хотим на выходе - Yu (t). По этим данным можно найти функции y(u) и Y(u). Затем находим изображения по Лапласу y(u) и Y(u). По этим изображениям отыскиваем передаточную функцию W(p) оптимальной системы, на основе которой и осуществляется ее техническая реализация.