Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения.

Составим сопряженную систему

Ее общее решение т.е.

, где

произвольный постоянный вектор.

Составим функцию Понтрягина:

Пусть фиксировано. Если , то среди всех допустимых значений максимальное значение функции Понтрягина доставляет знчение . Если , то функция получает максимальное значение при . Таким образом, при всех (за исключением значения , при котором ) функция управления , доставляющая максимум функции Понтрягина, принимает только два значения и .

Отметим, что условие 2 принципа Понтрягина при таком выборе значений автоматически выполняется:

(за исключением одного значения , при котором ).

Согласно принципу максимума Понтрягина, оптимальные траектории можно получить только при значениях .

Пусть . Тогда система (2) имеет вид .

Ее общее решение

(3)

где произвольные постоянные (их обозначили в отличие от постоянных и в решении сопряженной системы. Кроме того, вместо записали , так как тоже произвольная постоянная, как и ). Это – семейство оптимальных фазовых траекторий под управлением . Исключая время , получим семейство парабол.

Из уравнения

видно, что с увеличением времени

ордината

точки

на параболе уменьшается. Следовательно, движение фазовой точки вдоль параболы происходит вниз.

Пусть .

Тогда система (2) имеет вид

. Её общее решение:

(4)

Это – семейство оптимальных фазовых траекторий под управлением . Исключая , получаем семейство парабол.

Из уравнения

видим, что с возрастанием времени

точка

движется вдоль параболы вверх.

Семейства оптимальных траекторий (3) и (4) получены без учета краевых условий. Пока о роли этих семейств можно сказать следующее:

Если точки и лежат на одной из парабол, то именно кусок этой параболы, соединяющий точки и , является оптимальной траекторией (при совпадении направления): объект перейдет из фазового состояния в фазовое состояние за кратчайшее время именно по этой траектории.