Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог

Имеются три поставщика однородного товара с объемами поставок: а1 = 100 т, а2 = 200 т, a3 = 100 т и четыре потребителя с объемами потребления b1 = – 80 т, b2 = 120 т, b3 = 150 т, b4 = 50 т.

Определить оптимальное решение перевозок, обеспечивающее минимальные транспортные затраты.

Решение. В матрицу расходов введем параметр λ, где 0 ≤ λ ≤ 3. Получим

Полагая λ = 0, решаем задачу методом потенциалов, определим оптимальное решение перевозок. Распределительная таблица этого решения будет иметь вид таблицы.

В таблице ui и vj — потенциалы строк и столбцов. Для занятых клеток они определяются из условия

Полагая u1 = 0, v1 + и1 = 5 + 2λ, получаем v1= 5 + 2λ,

v2 + и1 = 4 — λ, откуда v2 = 4 — λ;

v1 + u2 = 4 или 5 + 2λ + u2 = 4, откуда и2 = –1 – 2λ;

v3 + u2 = 4 + 2λ или –1 – 2λ + v3 = 4 + 2λ, v3 = 5 + 4λ.

Аналогично находим, что u3 = –1 + λ, v4 = 2 + 2λ.

Оценки свободных клеток находим по формуле

Имеем

Аналогично находим, что Δ24 = –6 + λ, Δ31 = –1 + 3λ, Δ33 = –2 + 5λ.

Решение, полученное при λ = 0, является оптимальным для всех значений параметра λ, удовлетворяющих условию

Имеем

Так как по условию задачи λ ≥ 0, то оптимальное решение сохраняется при 0 ≤ λ ≤ 1/3.

Таким образом, при λ [0; 1/3] L(X1)min = 1430 + 440λ и

Чтобы получить оптимальное решение при λ ≥ 1/3, перераспределим поставки товаров в клетку (3, 1), где λ2 = 1/3. Вновь полученное распределение представлено в таблице.

Находим оценки свободных клеток:

Определим пределы изменения λ:

Полученное в таблице оптимальное решение сохраняется при 1/3 ≤ λ ≤ 1/2. При этом L(X2)min = 1460 + 350λ. Итак,

Перераспределим поставки грузов в клетку (3, 3), где λ2 = 1/2. Получим новое распределение. Находим оценки свободных клеток:

Определим пределы изменения λ:

Оптимальное решение сохраняется при 1/2 ≤ λ ≤ 1. При этом L(Х3)min = 1490 + 290λ. Итак,

Перераспределим поставки товаров в клетку (1, 4), где λ2 = 1.

Оценки свободных клеток:

Пределы изменения λ:

Полученное в предыдущей таблице оптимальное решение сохраняется при λ ≤ 7/5.

Перераспределим поставки грузов в клетку (2, 4), где λ2 = 7/5.

Оценки свободных клеток:

Пределы изменения λ:

Оптимальное решение сохраняется при 7/5 ≤ λ ≤ 3. При этом L(X5)min = 1890 – 10λ. Итак,