Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения.

Сопряженная система

имеет общее решение

где – постоянный вектор.

При фиксированном , если или , то функция Понтрягина имеет максимальное значение, если взять или соответственно. Таким образом, функция управления , доставляющая максимум функции Понтрягина, имеет только два значения и , и переключение этих значений происходит в единственной точке , в которой .

При таком выборе функции будет автоматически при всех , кроме упомянутого исключительного значения.

Найдем фазовые траектории под управлениями и .

При система (1) имеет вид

(2)

Ее общее решение

(3)

где - произвольные постоянные. Исключив отсюда , получим

– семейство равнобочных гипербол с центром и асимптотами и . Из равенства (в системе (2)) видно, что если то а если то. Это значит, что с возрастанием времени в верхней полуплоскости (где) движение происходит слева направо (возрастает), а в нижней полуплоскости () движение справа налево ( убывает).

Аналогично при из системы получаем

(4)

семейство равнобочных гипербол с центром и с асимптотами и. Как и в случае при и при: в верхней полуплоскости движение происходит слева направо, в нижней полуплоскости – справа налево.

Движение фазовой точки к пункту назначения происходит слева направо по верхней части левой ветви гиперболы семейства (3) с уравнением

(5)

и справа налево по нижней части правой ветви гиперболы семейства (4) с уравнением

. (6)

Линия переключения имеет уравнения

(7)