Синтез оптимальной траектории.

Пусть точка лежит выше линии переключения. Мы увидим, что оптимальной траекторией окажется траектория, составленная из куска одной из парабол семейств (3) или (4) и куска линии переключения. Двигаясь из точки по параболе семейства (4) не попадем ни в начало координат, ни на линию переключения.

Поэтому надо начать движение по параболе семейства (3), которая проходит через точку в момент .

В некоторый момент попадем в точку , где эта парабола пересекается с линией переключения. Затем, двигаясь с момента из точки по линии переключения, в момент попадем в точку . Полученная траектория и будет оптимальной. В самом деле, проверим выполнение теоремы 2.2.4. При , т.е. , выбрано управление , а при , т.е. , выбрано управле-

ние .

1) значение функции Понтрягина

максимальное среди значений, принимаемых этой функцией при всех .

2) выполняется автоматически, как отмечалось раньше.

Условия теоремы 2.2.4 выполнены. Поэтому, согласно принципу максимума Понтрягина, построенная траектория является оптимальной в смысле быстродействия, а соответствующее управление является оптимальным.

Аналогично строится оптимальное управление и оптимальная траектория в случае, когда точка находится ниже линии переключения (в этом случае постоянный вектор ). Если находится на линии переключения, то, очевидно, оптимальной траекторией является кусок самой линии переключения.

2.3.1. Пример

(В момент точка проходит через положение влево со скоростью .

Пусть . Решаем систему

(5)

Это – семейство парабол .

Пусть ,

(6)

Линия переключения . Находим закон движения из точки с момента по параболе семейства (6):

полагая , находим

;

Закон движения

. (7)

Это движение происходит по параболе . Найдем точку пересечения с линией переключения. Пересечение происходит при .

Поэтому решаем систему уравнений .

Находим момент попадания в эту точку , используя закон движения (7): .

Находим закон движения из точки с момента по линии переключения, полагая в (5) : :

. Закон движения .

Наконец, находим момент попадания в начало координат :

.

Итак, оптимальная траектория

. Оптимальное уравнение .

Судя по изображенной фазовой траектории, управление движением происходило так:

В момент точка проходила положение со скоростью двигаясь влево. Чтобы остановить ее, включили двигатель на полную мощность (по оси ). Точка остановилась в положении с нулевой скоростью. Под тем же управлением точка двигалась до положения , где имела уже положительную скорость к моменту В этот момент, чтобы точка, набирая положительную скорость, не перескочила начало координат, управление переключили на .

2.3.2. Пример.

Положим в примере 2.3.1 Тогда точка находится на линии переключения. Закон движения из этой

точки с момента

Находим момент попадания в точку Оптимальная траектория . Оптимальное управление .

Задача 2. Математический маятник – груз малых размеров с массой на невесомом стержне длиной находится вблизи верхнего (неустойчивого) положения равновесия. Требуется под действием ограниченной по величине силы, направленной перпендикулярно к оси маятника, за кратчайшее время привести маятник к положению равновесия с нулевой скоростью (трением пренебрегаем).

Обозначим угол отклонения маятника от положения равновесия в момент времени , отсчитываемый в направлении против часовой стрелки.

Управление движением начинается в момент времени при отклонении , когда скорость отклонения , и должно закончиться за наименьшее время при отклонении и скорости отклонения .

Управлением является сила , крайние значения и означают включение двигателя на полную мощность в положительном и отрицательном направлении отклонения соответственно.

Составим уравнение движения маятника. Движение маятника по окружности происходит под действием силы (составляющая силы тяжести в направлении касательной) и управления с линейным ускорением . По второму закону Ньютона

Это – нелинейное (из-за ) дифференциальное уравнение второго порядка с неизвестной функцией . Ограничиваясь положениями маятника, достаточно близкими к положению равновесия, мы можем заменить на (так как при малых ). Получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

.

Для упрощения вычислений будем считать, что

.

Как и в задаче 1, перейдем к нормальной системе заменой . Получим линейную стационарную задачу оптимального быстродействия

(1)

или

где .

Кроме ограничения на управление , в этой задаче имеется фазовое ограничение , где некоторое множество на фазовой плоскости . (например, первая координата ограничена некоторым отрезком , в пределах которого считаем ).

Пользуясь критерием Калмана, проверим управляемость задачи (1) (в пределах фазового ограничения):

задача управляема.