Механические системы

Здесь величина К- коэффициент жесткости пружины, С - коэффициент торможения, ш - масса.

Рисунок 4 - Простая механическая система

Прежде чем перейти к нахождению частной характеристики, необходимо четко определить характер процессов на входе и выходе системы.

Зададим в качестве входного сигнала изменение силы, приложенной к массе, а в качестве выходного - смещение массы (в соответствии с рисунком 5).

Что бы определить частотную характеристику изучаемой системы, следует вначале вывести уравнения движения.

F (t) + Fk (t) + Fc (t) + Fm (t) = 0. (1.14)

Y(t)

3

/ X X

/ /

/

/ /

К m F(t)

Рисунок 5 - Механическая система с вынуждающей силой на выходе

В формуле(1.14):

Fk (t) = - KY(t) - упругая сила,

Fc (t) = -C Y(t) - сила торможения,

Fm (t) = -m Y(t) - сила инерции, Л„ ч dY(t)

Y(t) = —^ - скорость,

Y(t) =

ускорение.

dt d2Y(t) dt2

виде

Следовательно, уравнение движения системы может быть записано в mY(t) + CY(t) + KY (t) = F (t). (1.15)

Выше говорилось, что частотная характеристика системы определяется как преобразование Фурье на 5 - функцию. В данном случае реакция системы - это смещение Y(t), преобразование Фурье которого

1 ад

(1.16)

отсюда следует, что

Y (jw) = jwW (jw), Y(jw) = -w 2W (jw),

Вычисляя преобразование Фурье от обеих частей, получим

Y (jw) = — j Y (t)exp(jwt)dt = W (jw) 2

[- wm + jwC + K ] (jw) = 1,

(1.17)

1

W (jw) =

K - wm + jwC

Уравнение (1.17) целесообразно переписать в другой форме, принимая обозначения

C

? =

2VK

m

wn =¦

(1.18) (1.19)

Величина ? в формуле (1.18) безразмерна и называется коэффициентом затухания.

1

v wn у

1-

w

+ j 2%

wn

С у w

W (jw) =

(1.20)

K

Записав соотношение (120) в показательной форме, можно представить частотную характеристику W(jw) как функцию амплитудной и фазовой частотных характеристик, как это уже описывалось выше:

(1.21)

W (jw) = \W O)|exp(0O)),

где

v wn у

\

+

1 -

w

wn

2

f \2 w

(1.22)

|W (jw) =

(1.23)

n

2

(w) = arctg

1 -I w

w