§15 Абсолютная непрерывность вероятностных мер, соответствующих скачкообразным процессам.

15.1. Определение. Пусть на измеримом пространстве заданы две вероятностные меры , i = 1,2.

Из этого определения следует: если , то

. Очевидно, что достаточным условием является следующее: для .

Из теоремы Радона - Никодима следует, что если , то существует F - измеримая функция такая, что , которую называют производной Радона - Никодима и обозначают.

Везде ниже интеграл по мере будем обозначать через .

Пусть имеется измеримое пространство с фильтрацией , на котором заданы две вероятностные меры , i = 1,2. Через обозначим сужение меры на , т. е. . Пусть , тогда существует в силу теоремы Радона – Никодима - процесс называемый локальной плотностью .

Теорема 48. Пусть - локальная плотность. Тогда неотрицательный мартингал относительно меры , причем для .

Доказательство. Пусть и . В силу условий теоремы поэтому .

.

Отсюда в силу произвольности получаем, что - п. н. Для завершения доказательства осталось заметить, что при для .

15.3. Рассмотрим опциональный случайный процесс , опреде-ленный на стохастическом базисе со значениями в и для Р - п. н. допускающий представление

, (17)

где опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями и неслучайной матрицей интенсивности перехода , причем ; : - предсказуемая случайная функция такая, что

Р - п.

Сначала заметим, что - предсказуемый процесс, так как

- опциональный. Из свойств интегралов, стоящих в правой части (17) следует

. (18)

Пусть - последовательность марковских моментов, исчерпывающая скачки процесса , ясно, что: а) ; б) на множестве ; в) . Тогда последнее равенство (18) можно записать в виде

. (18а)

Отсюда следует, что в момент времени происходит скачек у процесса и его величина вычисляется по формуле .

. (19)

Пусть , из (18) следует, что Р - п. н.

.

Очевидно, что

.

Далее в силу (18), имеем

. Заметим, что

.

Поэтому

?

.

Продолжая этот процесс далее, получаем, что P – п.н.

,(20)

который является решением этого уравнения.

Легко показать, что

1) если выполняются условия:

а) Р - п. н. , б) для Р - п. н.,

в) для Р- п. н.;

2) если выполняются условия:

а) Р - п. н. , б) для Р -п. н., в) для

Р - п. н. ;

3) если выполняются условия:

а) Р - п.

в) для Р - п. н. .

Таким образом, доказано утверждение.

Теорема 49. Пусть выполнены условия 1) , 3). Тогда уравнение (17) имеет единственное положительное решение, которое имеет вид (19), причем если выполнено условие 2), то Р - п. н. для . Кроме того, если , то для и и является равномерно интегрируемым мартингалом (относительно меры Р).

Замечание. Из теоремы 49 следует, что с помощью процесса можно определить вероятностную меру , где . Очевидно, , а - производная Радона – Никодима меры Q относительно меры P.

15.4. Теорема 50 (Гирсанов). Пусть опциональный случайный процесс с конечным или счетным множеством состояний Е и матрицей интенсивности перехода . Пусть удовлетворяет условиями 1)-3) теоремы 44. Тогда относительно меры , где процесс - опциональный с конечным или счетным числом состояний и матрицей интенсивности перехода .

Доказательство. Пусть - целочисленная случайная мера, построенная по скачкам процесса . Из условий теоремы следует, что ее компенсатор относительно меры P имеет вид , т. е. является мартингалом относительно меры Р. Нам надо показать, что относительно меры Q процесс - мартингал относительно потока , т. е. Q - п. н. . Последнее равенство выполнено тогда и только тогда, когда для . Из определения меры Q следует

. Из свойств условного математического ожидания, в силу того, что

- измеримо, имеем

.

Учитывая, что - равномерно интегрируемый мартингал относительно меры Р, имеем

.

Применим теперь формулу Ито для произведения мартингалов

, имеем P - п. н.

.

Рассмотрим . Очевидно, что

, .

Поэтому

.

Значит

. Таким образом, имеем

. (21)

Заметим, что второе и третье слагаемые правой части (21) являются стохастическими интегралами по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию. Поэтому они являются мартингалами относительно меры Р, имеем

.

Доказательство закончено.