<<
>>

2.3. Непрерывные цепи Маркова

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется непрерывной цепью Маркова при условии, что переход системы из состояния в состояние происходит не в фиксированные, а в случайные моменты времени.

В экономике часто встречаются ситуации, которые указать заранее невозможно.

Например, любая деталь или агрегат автомобиля могут выйти из строя в любой, непредсказуемый заранее момент времени. Для описания таких систем в отдельных случаях можно использовать математический аппарат непрерывной цепи Маркова.

Пусть система характеризуется п состояниями 50, Sx, S2, Sm а переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени. Обозначим через Pt{t) вероятность того, что в момент времени t система S будет находиться в состоянии St (/ = 0,1, ..., п). Требуется определить для любого t вероятности состояний Л)(О, P\(t), Pn(t). Очевидно, что

/=о

Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей Ру рассматриваются плотности вероятностей перехода ХуУ представляющие собой предел отношения вероятности перехода системы за время At из состояния Sj в состояние Sj к длине промежутка At:

Kit; At)

—, (2.7)

Af->0 At

где Pyit; At) — вероятность того, что система, пребывавшая в момент t в состоянии Sh за время At перейдет из него в состояние Sj (при этом всегда / ф J).

Если Ху = const, то процесс называется однородным, если плотность вероятности зависит от времени Ху = Xjft), то - неоднородным.

При рассмотрении непрерывных марковских процессов приня-то представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий . Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим через какие-то, вообще говоря, случайные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интерпретируется как интенсивность Ху соответствующих потоков событий.

Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе S, будет марковским.

При изучении марковских случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в графе состояний над стрелками, ведущими из состояния Si в Sjy проставляют соответствующие интенсивности Ху. Такой граф состояний называют размеченным.

Пусть система S имеет конечное число состояний <5*0, Sb ..., Sn. Случайный процесс, протекающий в этой системе, описывается вероятностями СОСТОЯНИЙ /О(0> Л(0> ••• Рп(0, ГДЄ Pi(t) — вероятность того, что система S в момент t находится в состоянии St. Для любого t

Ї /}(/) = 1.

/=0

Вероятности СОСТОЯНИЙ Pi(t) находят путем решения системы дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид

аг j~\

где і = 0,1, п.

Величина XjjPi(i) называется потоком вероятности перехода из состояния Si в Sp причем интенсивность потоков Ху может зависеть от времени или быть постоянной.

Уравнения (2.8) составляют по размеченному графу состояний системы, пользуясь следующим мнемоническим правилом:

производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное состояние, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие.

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (2.8), нужно задать начальное распределение вероятностей / о(0)> Л(0)> •••> Р((0), ..., Рп(0). Для решения применяют численные методы.

<< | >>
Источник: Бережная Е.В., Бережной В.И.. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика,2006. - 432 е.. 2006

Еще по теме 2.3. Непрерывные цепи Маркова:

  1. А. Естественно-правовые конструкции, черпавшие свои посылки в разуме и его логических заключениях
  2. 154. Невмешательство как способ деятельности
  3. Библиографический указатель
  4. 1.2.2. Структура информационного центра машиностроительного факультета
  5. Методы и методология исследования.
  6. 2.4. Разработка инструментария для управления изменениями управляющих параметров факторов самоорганизации комплекса предприятий автомобилестроения
  7. 2.1. Основные понятия марковских процессов
  8. 2.2. Марковские цепи
  9. 2.3. Непрерывные цепи Маркова
  10. 2.4. Моделирование работы подвижного состава с использованием марковских случайных процессов
  11. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников  
  12. Содержание дисциплины