Финальные вероятности состояний
/> = lim ЩО,
t—>00
где і = 0,1, Л,
не зависящие от того, в каком состоянии система S находилась в начальный момент.
Говорят, что в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходит из СОСТОЯНИЯ В состояние, НО вероятности СОСТОЯНИЙ Pj уже не меняются. Система, для которой существуют финальные вероятности, называется эргодической, а соответствующий случайный процесс — эргодическим.Финальные вероятности состояний (если они существуют) могут быть получены путем решения системы линейных алгебраичес-ких уравнений, которые получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова, если приравнять производные к нулю, а вероятностные функции состояний P\(t), ..., Pn{t) в правых частях уравнений (2.8) заменить соответственно на неизвестные финальные вероятности Рь ..., Рп.
Таким образом, для системы Sen состояниями получается система п линейных однородных алгебраических уравнений с п неизвестными Р0, Рх, ..., Рп, которые можно найти с точностью до произвольного множителя. Для нахождения точного значения Р0, РЇ9 ..., Рп к уравнениям добавляют нормировочное условие Рц + Р{ + + ... + Рп = 1, пользуясь которым можно выразить любую из вероятностей Pj через другие и отбросить одно из уравнений.
Пример 2.3. Имеется размеченный граф состояний системы S (рис. 2.4). Необходимо составить систему дифференциальных урав-нений Колмогорова и записать начальные условия для решения этой системы, если известно, что в начальный момент система находилась в состоянии Si.
Решение
Согласно приведенному мнемоническому правилу система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид
d Р
= -^12^1
аг (2.9)
dP
Начальные условия при t = 0:
Рассмотрим, что произойдет с системой описываемой дифференциальными уравнениями Колмогорова, при t —» ©о Известно, что в случае сообщающихся состояний функции ^(0, Р2(0» •••> Лі(0 стремятся к предельным (финальным) вероятностям состояний системы S. Финальные вероятности не зависят от времени. Поэтому в системе дифференциальных уравнений Колмогорова все левые части уравнений (производные) принимают равными нулю. При этом система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгебраических уравнений.
Для нашего примера система (2.9) будет иметь вид
0 = "(^12^1 0 = Л12/І -Х23Р2
¦ 0 = Х23Р2 -(А31Р3 +Л34Р3 +Я35Р3) (2.10)
0 = Х14Р{ +Я34Р3 +Я54Р5 -A.4j.P4 0 = Л35Рз -А54Р5.
Решая ее с учетом условия Р{ + Р2 + Р3 + Р4 + Р5 = 1, получим все предельные вероятности. Эти вероятности представляют собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии.