§4. Две предельные теоремы теории очередей.

4.1. В данном пункте установим условия существования стационарного решения уравнения (17).

Определение. Пусть – решение уравнения (17), если для существует , обозначаемый , то его мы будем называть стационарным решением уравнения (17).

Для удобства формулировки следующего утверждения приведем условия (R):

1) для ;

2) (попутно заметим, отношение называют коэффициентом нагрузки).

Обозначим .

Теорема 16. Пусть выполнены условия (R) и . Тогда решение уравнения (17) имеет вид для .

Доказательство. Рассмотрим пространство последовательностей , в нем введем норму:

.

Относительно этой нормы пространство последовательностей становится банаховым, которое мы обозначим через B. Очевидно, что , (для любого t).

. (26)

Перепишем уравнение (17) в интегральной форме

. (27)

(27) с учетом (26) можно представить в виде

Отсюда следует, что справедливо неравенство

.

Поэтому, в силу леммы Гронуолла – Беллмана, из последнего неравенства следует, что , т.е. – решение уравнения (17). Доказательство закончено.

3. Из теоремы 16 вытекает важное утверждение. Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 16. Тогда выходной поток является пуассоновским с интенсивностью .

Доказательство. Достаточно показать, что . Действительно, так как .

Отсюда, в силу свойства стохастических интегралов по мартингалу, имеющему ограниченную вариацию (теорема 23 главы 3), и теоремы Фубини, имеем

.

В силу условий теоремы для , поэтому . Стало быть, . Доказательство закончено.