10.1. Центральная предельная теорема.
Центральная предельная теорема теории вероятностей представляет собой совокупность предложений, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения.
Пусть на 
заданы независимые случайные величины 
с числовыми характеристиками
 | (10.1.1) |
Рассмотрим случайные величины
 | (10.1.2) |
и установим условия, при которых распределение случайной величины 
с возрастанием п становится сколь угодно близким к нормальному N(0,1), т.е.
. Будем говорить, что последовательность случайных величин 
удовлетворяет центральной предельной теореме, если .
Заметим, что означает, что при достаточно большом n распределение Yn становится близким к нормальному 
.
В самом деле, пусть . Тогда для любого сколь угодно малого 
существует 
, что при 
выполняется условие
 |
Здесь 
- функция распределения : Ф(y) - функция распределения 
.
Положим 
. Тогда для 
:
 | (10.1.3) |
Поскольку
 |
где 
– распределение 
, а 
- распределение 
, то вместо (10.1.3) можно записать:
 |
Случайную величину , очевидно, можно представить в виде
 | (10.1.4) |
где 
- независимые случайные величины с характеристиками
 | (10.1.5) |
Если 
- характеристическая функция 
, то характеристическая функция 
случайной величины в силу независимости 
имеет вид:
 | (10.1.6) |
Теперь, учитывая теорему единственности, вопрос о 
можно свести к установлению сходимости
 | (10.1.7) |
Этот прием будет основным в доказательстве следующей теоремы, дающей достаточное условие для .