10.1. Центральная предельная теорема.

Центральная предельная теорема теории вероятностей представляет собой совокупность предложений, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения.

Пусть на заданы независимые случайные величины с числовыми характеристиками

(10.1.1)

Рассмотрим случайные величины

(10.1.2)

и установим условия, при которых распределение случайной величины с возрастанием п становится сколь угодно близким к нормальному N(0,1), т.е.

Будем говорить, что последовательность случайных величин удовлетворяет центральной предельной теореме, если .

Заметим, что означает, что при достаточно большом n распределение Y_n становится близким к нормальному .

В самом деле, пусть . Тогда для любого сколь угодно малого существует , что при выполняется условие

Здесь - функция распределения : Ф(y) - функция распределения .

Положим . Тогда для :

(10.1.3)

Поскольку

где – распределение , а - распределение , то вместо (10.1.3) можно записать:

Случайную величину , очевидно, можно представить в виде

(10.1.4)

где - независимые случайные величины с характеристиками

(10.1.5)

Если - характеристическая функция , то характеристическая функция случайной величины в силу независимости имеет вид:

(10.1.6)

Теперь, учитывая теорему единственности, вопрос о можно свести к установлению сходимости

(10.1.7)

Этот прием будет основным в доказательстве следующей теоремы, дающей достаточное условие для .