<<
>>

10.2. Теорема Ляпунова.

Пусть - независи­мые и одинаково распределенные случайные величины с числовыми характеристиками

(10.2.1)

Тогда

(10.2.2)

Доказательство.

Прежде всего отметим, что выражение вида (10.2.2) совпадает с в выражениях (10.1.2), если считать выполненными условия (10.2.1). Поэтому доказательство должно сводиться к установлению сходимости (10.1.7).

Далее, в выражение (10.2.2) для входят только центрированные составляющие , случайных величин , поэтому доказательство можно проводить, полагая в (10.2.2) , т.е. при условиях

(10.2.3)

где - независимые и одинаково распределенные. Поскольку , одинаково распределены, то их характеристические функции совпадают:

(10.2.4)

Учитывая независимость , получим следующее выражение характеристической функции случайной величины :

Отсюда следует

(10.2.5)

Разлагая в ряд по степеням правую часть уравнения (10.2.5) при достаточно больших п получим с учетом теоремы о дифференцируемости характеристических функций

Отсюда найдем

В силу условия и формулы получим

Теперь можно записать

Отсюда следует требуемое

К числу простейших форм центральной предельной теоремы относится также теорема Лапласа.

<< | >>
Источник: Теория вероятностей. (Учебное пособие). 2004

Еще по теме 10.2. Теорема Ляпунова.:

  1. 4.1.3. Законные права, частные переговоры и теорема Коуза
  2. 4.1.5. Провалы (фиаско) теоремы Коуза
  3. 5А: Теорема о невозможности агрегирования предпочтений
  4. § 2, Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы, Обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли
  5. § 15. Основные теоремы о пределах
  6. § 29. Некоторые теоремы о дифференцируемыхфункциях
  7. § 52, Частные производные первого и высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
  8. § 14. Понятие фундирования и соответствующие теоремы
  9. Содержание дисциплины
  10. Элементы теории устойчивости.
  11. Центральная предельная теорема Ляпунова.
  12. Предельные теоремы.
  13. Перечень вопросов к зачету на втором курсе