10.2. Теорема Ляпунова.
Пусть 
- независимые и одинаково распределенные случайные величины с числовыми характеристиками
 | (10.2.1) |
Тогда
 | (10.2.2) |
Доказательство.
Прежде всего отметим, что выражение
вида (10.2.2) совпадает с в выражениях (10.1.2), если считать выполненными условия (10.2.1). Поэтому доказательство должно сводиться к установлению сходимости (10.1.7). Далее, в выражение (10.2.2) для входят только центрированные составляющие 
, случайных величин 
, поэтому доказательство можно проводить, полагая в (10.2.2) 
, т.е. при условиях
 | (10.2.3) |
где 
- независимые и одинаково распределенные. Поскольку 
, одинаково распределены, то их характеристические функции совпадают:
 | (10.2.4) |
Учитывая независимость , получим следующее выражение характеристической функции случайной величины :
 |
Отсюда следует
 | (10.2.5) |
Разлагая в ряд по степеням 
правую часть уравнения (10.2.5) при достаточно больших п получим с учетом теоремы о дифференцируемости характеристических функций
 |
Отсюда найдем
 |
В силу условия 
и формулы 
получим
 |
Теперь можно записать
 |
Отсюда следует требуемое
 |
К числу простейших форм центральной предельной теоремы относится также теорема Лапласа.