10.2. Теорема Ляпунова.
Пусть 
- независимые и одинаково распределенные случайные величины с числовыми характеристиками
 | (10.2.1) |
Тогда
 | (10.2.2) |
Доказательство.
Прежде всего отметим, что выражение
вида (10.2.2) совпадает с в выражениях (10.1.2), если считать выполненными условия (10.2.1). Поэтому доказательство должно сводиться к установлению сходимости (10.1.7). Далее, в выражение (10.2.2) для входят только центрированные составляющие 
, случайных величин 
, поэтому доказательство можно проводить, полагая в (10.2.2) 
, т.е. при условиях
 | (10.2.3) |
где 
- независимые и одинаково распределенные. Поскольку 
, одинаково распределены, то их характеристические функции совпадают:
 | (10.2.4) |
Учитывая независимость , получим следующее выражение характеристической функции случайной величины :
 |
Отсюда следует
 | (10.2.5) |
Разлагая в ряд по степеням 
правую часть уравнения (10.2.5) при достаточно больших п получим с учетом теоремы о дифференцируемости характеристических функций
 |
Отсюда найдем
 |
В силу условия 
и формулы 
получим
 |
Теперь можно записать
 |
Отсюда следует требуемое
 |
К числу простейших форм центральной предельной теоремы относится также теорема Лапласа.
Еще по теме 10.2. Теорема Ляпунова.:
- Центральная предельная теорема Ляпунова.
- Теорема Лагранжа. Теорема Коши.
- 2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
- Теорема об интегрировании подстановкой. Теорема об интегрировании по частям.
- Теорема Ферма. Теорема Роля.
- 1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
- Теоремы свертки и запаздывания.
- Лабораторная работа № 6 Теорема Эйлера
- 6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
- Теорема Лагранжа.
- 1.2.6. Теорема (о норме )
- Теорема Ролля.
- Теорема Чебышева.