1.2.6. Теорема (о норме )

Величина, определенная равенством , является нормой.

? Докажем для (для доказательство аналогично).

Проверим свойства нормы (1.2.1) учитывая, что для они проверены.

1) Пусть , т.е. . Тогда хотя бы одно из чисел и больше нуля. Если , то по теореме 1.2.4 (1) . Если , то по той же теореме , т.е. . Таким образом, в любом случае .

Пусть обратно, . Тогда по теореме 1.2.4 (1) , значит, .

Доказано, что . Далее очевидно.

2) При равенство очевидно: и .

, т.е. . (3)

Обратно, по доказанному для . (4)

Из неравенств (3) и (4) получаем .

3) По теореме 1.2.4 (3) , , а согласно замечанию 1.2.5 и . Поэтому и , значит, , т.е.

. ■

Таким образом, пространство с нормой является нормированным пространством.

Расстоянием между точками является число

.

Замечание. Функции, близкие по норме пространства , могут сильно отличаться по норме пространства . Например, функции и обе принадлежат

и пространству и пространству (при любых (возьмем )). По норме :

. По норме .

Но , так что . С возрастанием функция становится сколь угодно близкой к функции по норме , т.к. , тогда как всегда отстоит от неё на расстояние по норме .