1.2.6. Теорема (о норме )
Величина, определенная равенством 
, является нормой.
? Докажем для 
(для 
доказательство аналогично).
Проверим свойства нормы (1.2.1) учитывая, что для 
они проверены.
1) Пусть 
, т.е. 
. Тогда хотя бы одно из чисел 
и 
больше нуля. Если 
, то по теореме 1.2.4 (1) 
. Если 
, то по той же теореме 
, т.е. 
. Таким образом, в любом случае .
Пусть обратно, . Тогда по теореме 1.2.4 (1) , значит, 
.
Доказано, что 
. Далее 
очевидно.
2) При 
равенство 
очевидно: 
и 
.
. Тогда то по теореме 1.2.4 (2) 
, 
, а согласно замечанию 1.2.5 
. Поэтому 
и 
. Значит, и 
, т.е. 
. (3)
Обратно, 
по доказанному для 
. (4)
Из неравенств (3) и (4) получаем .
3) По теореме 1.2.4 (3) 
, 
, а согласно замечанию 1.2.5 
и 
. Поэтому 
и 
, значит, 
, т.е.
. ■
Таким образом, пространство 
с нормой 
является нормированным пространством.
Расстоянием между точками 
является число
.
Замечание. Функции, близкие по норме пространства 
, могут сильно отличаться по норме пространства . Например, функции 
и 
обе принадлежат
 | и пространству и пространству  (при любых  (возьмем  )). По норме : |
. По норме 
.
Но 
, так что 
. С возрастанием 
функция 
становится сколь угодно близкой к функции по норме , т.к. 
, тогда как всегда отстоит от неё на расстояние 
по норме .