1.2.4. Теорема (о норме )

? Проверим свойства нормы (1.2.1).

1) Очевидно, что , так что .

2) При равенство очевидно, так как и . Пусть . Тогда

и, в частности, , т.е. . (1)

Обратно, по доказанному, для . (2)

Из неравенств (1) и (2) получаем .

3)

и, в частности, , т.е.

Таким образом, пространство с нормой является нормированным пространством. Расстоянием между точками и этого пространства является число – максимальное расстояние по вертикали между графиками функций и .

Элементы пространства непрерывно дифференцируемые, т.е. гладкие функции. Функция в каждой точке имеет невертикальную касательную с угловым коэффициентом , которая ввиду непрерывности непрерывно (без скачков) меняет свое положение при движении вдоль графика . Поэтому элементы этого пространства естественно считать близкими, если не только мало расстояние по вертикали между их графиками, но еще мало отличаются их касательные на всем , т.е. разность мала. Поэтому расстоянием следует считать число

( тоже существует, т.к. функция непрерывна на отрезке ). Следовательно, нормой элемента (т.е. расстоянием до ) следует считать число . Вообще, .

1.2.5. Замечание.

Очевидно, что .