1.2.4. Теорема (о норме )

? Проверим свойства нормы (1.2.1).
1) Очевидно, что , так что
.

2) При равенство
очевидно, так как
и
. Пусть
. Тогда
и, в частности, , т.е.
. (1)
Обратно, по доказанному, для
. (2)
Из неравенств (1) и (2) получаем .
3)
и, в частности,
, т.е.

Таким образом, пространство с нормой
является нормированным пространством. Расстоянием между точками
и
этого пространства является число
– максимальное расстояние по вертикали между графиками функций
и
.
![]() |
Элементы пространства непрерывно дифференцируемые, т.е. гладкие функции. Функция
в каждой точке
имеет невертикальную касательную с угловым коэффициентом
, которая ввиду непрерывности
непрерывно (без скачков) меняет свое положение при движении вдоль графика
. Поэтому элементы
этого пространства естественно считать близкими, если не только мало расстояние по вертикали между их графиками, но еще мало отличаются их касательные на всем
, т.е. разность
мала. Поэтому расстоянием
следует считать число
( тоже существует, т.к. функция
непрерывна на отрезке
). Следовательно, нормой элемента
(т.е. расстоянием до
) следует считать число
. Вообще,
.
1.2.5. Замечание.
Очевидно, что .