1.2.4. Теорема (о норме )
, является нормой. ? Проверим свойства нормы (1.2.1).
1) Очевидно, что 
, так что 
.
. 2) При 
равенство 
очевидно, так как 
и 
. Пусть 
. Тогда
и, в частности, 
, т.е. 
. (1)
Обратно, 
по доказанному, для 
. (2)
Из неравенств (1) и (2) получаем 
.
3) 
и, в частности, 
, т.е.
.■ Таким образом, пространство 
с нормой является нормированным пространством. Расстоянием между точками 
и 
этого пространства является число 
– максимальное расстояние по вертикали между графиками функций 
и 
.
 |
Элементы пространства 
непрерывно дифференцируемые, т.е. гладкие функции. Функция 
в каждой точке 
имеет невертикальную касательную с угловым коэффициентом 
, которая ввиду непрерывности непрерывно (без скачков) меняет свое положение при движении вдоль графика 
. Поэтому элементы 
этого пространства естественно считать близкими, если не только мало расстояние по вертикали между их графиками, но еще мало отличаются их касательные на всем 
, т.е. разность 
мала. Поэтому расстоянием 
следует считать число
(
тоже существует, т.к. функция 
непрерывна на отрезке ). Следовательно, нормой элемента (т.е. расстоянием до 
) следует считать число 
. Вообще, 
.
1.2.5. Замечание.
Очевидно, что 
.