<<
>>

1.2.3. Теорема (о свойствах расстояния)

Число обладает свойствами:

1) (неотрицательность).

2) (симметричность),

3) (неравенство треугольника).

? 1) (по определению 1.2.1)

(по определению 1.2.1).

2) (по определению 1.2.1) .

3) ( по определению 1.2.1) . ■

Мы будем иметь дело с множеством функций, непрерывных на отрезке , которое будем обозначать , и с множеством функций, раз непрерывно дифференцируемых на (т.е. имеющих непрерывные производные до го порядка включительно), которое будем обозначать . Если сложение функций и умножение функции на число понимать как обычно:

то при этих линейных операциях множества и являются линейными пространствами.

Например, если , т.е. имеют непрерывные производные , то сумма , тоже непрерывно дифференцируема на , т.е. если то тоже непрерывно дифференцируема на , т.е. Легко проверить, что эти линейные операции удовлетворяют всем 8 аксиомам линейного пространства, так как при каждом фиксированном сложение функции и умножение функции на число сводится к сложению и умножению чисел, а для чисел все аксиомы выполняются. Нулевым элементом пространства является функция, тождественно равная нулю на Противоположным элементом для функции является функция .

Аналогично, тоже является линейным пространством.

Итак, и являются линейными пространствами с обычными правилами сложения функций и умножения функции на число.

Введем нормы элементов в этих пространствах, что позволит ввести понятие расстояния между элементами этих пространств (т.е.

между функциями).
Норма есть расстояние от функции до функции . В пространстве непрерывных функций естественно считать функцию близкой к функции (на всем отрезке

!) если близко к нулю значение (такое максимальное значение при некотором существует в силу теоремы Вейерштрасса для функции, непрерывной на отрезке).

Поэтому положим .

<< | >>
Источник: ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ (Учебное пособие). 2003

Еще по теме 1.2.3. Теорема (о свойствах расстояния):

  1. 1.3 Идентификация свойств сырья и состояния процесса
  2. Содержание дисциплины
  3. Гипербола.
  4. Теоремы свертки и запаздывания.
  5. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  6. Теорема 1 Если даже отнять от тела твердость, вес и другие чувственные свойства, то, несмотря на это, природа тела останется не нарушенной.
  7. Теорема 49. В душе не имеет места никакое волевое явление, иными словами — никакое утверждение или отрицание, кроме того, какое заключает в себе идея, поскольку она есть идея.
  8. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  9. § 8. Борьба против апагогического доказательства.
  10. § 2. Эволюция иерархического принципа в онтологии.
  11. ПОРИЗМЫ И ДАННЫ
  12. II. Основные формулы и теоремы
  13. 1.2.3. Теорема (о свойствах расстояния)
  14. 1.2.6. Теорема (о норме )
  15. Деревья