1.2.3. Теорема (о свойствах расстояния)
обладает свойствами: 1) 
(неотрицательность).
2) 
(симметричность),
3) 
(неравенство треугольника).
? 1) 
(по определению 1.2.1) 
(по определению 1.2.1).
2) 
(по определению 1.2.1) 
.
3) 
( по определению 1.2.1) 
. ■
Мы будем иметь дело с множеством функций, непрерывных на отрезке 
, которое будем обозначать 
, и с множеством функций, 
раз непрерывно дифференцируемых на (т.е. имеющих непрерывные производные до го порядка включительно), которое будем обозначать 
. Если сложение функций и умножение функции на число понимать как обычно:
то при этих линейных операциях множества и являются линейными пространствами.
, т.е. имеют непрерывные производные 
, то сумма 
, тоже непрерывно дифференцируема на , т.е. 
если 
то 
тоже непрерывно дифференцируема на , т.е. 
Легко проверить, что эти линейные операции удовлетворяют всем 8 аксиомам линейного пространства, так как при каждом фиксированном 
сложение функции и умножение функции на число сводится к сложению и умножению чисел, а для чисел все аксиомы выполняются. Нулевым элементом пространства 
является функция, тождественно равная нулю на 
Противоположным элементом для функции 
является функция 
. Аналогично, тоже является линейным пространством.
Итак, и являются линейными пространствами с обычными правилами сложения функций и умножения функции на число.
Введем нормы элементов в этих пространствах, что позволит ввести понятие расстояния между элементами этих пространств (т.е.
между функциями). | Норма  есть расстояние от функции  до функции  . В пространстве непрерывных функций естественно считать функцию  близкой к функции (на всем отрезке |
!) если близко к нулю значение 
(такое максимальное значение при некотором 
существует в силу теоремы Вейерштрасса для функции, непрерывной на отрезке).
Поэтому положим 
.