<<
>>

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:

(1)

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

.

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = –3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = –3; k2 = 2 tgj = ; j = p/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k1 = 3/5, k2 = –5/3, k1k2 = –1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; –1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Расстояние от точки до прямой.:

  1. § 4. Различные виды уравнения прямой на плоскости
  2. § 10, Прямая линия в пространстве
  3. § 37. Направление выпуклости графика функции,точки перегиба
  4. 1.7. Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка.
  5. Расстояние от точки до прямой.
  6. 1.6. Числовая прямая и числовые промежутки
  7. Тема 7. Прямые линии и плоскости.
  8. 17. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
  9. §1.1. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА И ТОЧКИ
  10. § 1.2. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ. КООРДИНАТЫ. СИСТЕМА ОТСЧЕТА
  11. 1.7. Определение расстояний по карте
  12. 1.9. Определение абсолютных высот, превышений, крутизны ската и взаимной видимости между точками
  13. 3.4.1. Измерение расстояний простейшими способами
  14. 3.4.2. Измерение расстояний с помощью приборов