8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.
Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.
Формулировки теорем приведем без доказательства.Прямая предельная теорема. Если последовательность функций распределения
 |
сходится в основном к функции распределения F(х), то последовательность характеристических функций
 |
сходится к характеристической функции qx(t). Эта сходимость равномерна в каждом конечном интервале t.
Обратная предельная теорема. Если последовательность характеристических функций
 |
сходится к непрерывной функции qx(t), то последовательность функций распределения
|
сходится в основном к некоторой функции распределения F(x).
Заметим, что условия теоремы выполнены в каждом из двух следующих случаев:
1) Последовательность характеристических функций 
сходится к некоторой функции qx(t) равномерно в каждом конечном интервале t.
2) Последовательность характеристических функций сходится к характеристической функции qx(t).