§4. Уравнения Колмогорова МПШ.

4.1. Выше приведенная классификация МПШ основана на идее линеаризации соотношения Чепмена–Колмогорова, состоящей в том, что на вероятности перехода накладываются условия, которые позволяют перейти от (нелинейного) соотношения Чепмена-Колмогорова для вероятностей перехода к линейным интегро-дифференциальным уравнениям относительно этих переходных вероятностей.

4.2. Пусть - класс функций, таких, что для и существуют пределы:

(11)

(12)

Очевидно, что для - линейный оператор, а - линейное подпространство . Положим Пусть

,тогда для левой производной по функции справедливы равенства:

(13)

Поэтому из (12) и (13) следует, что

(14)

Если , где то и удовлетворяет уравнению

(15)

Уравнения (14) и (15) называются обычно обратными уравнениями Колмогорова.

4.3.

Пусть - множество мер на и, а - подмножество мер, таких, что существуют пределы для любого и:

Положим Если такое, что, тогда существует . Отсюда следует, что

Стало быть, и удовлетворяет уравнению:

(16)

Уравнение (16) называется прямым уравнением Колмогорова.

Дальнейшие исследования связаны с решением следующих проблем:

i) какова структура операторов и ,

ii) ii) при выполнении каких условий уравнения Колмогорова имеют единственное решение.