<<
>>

§5. МПШ с конечным или счетным числом состояний.

5.1. Пусть – конечное или счетное множество, причем будем использовать обозначения.

Пусть - МПШ со значениями в и семейством переходных вероятностей. Положим

Очевидно, что Следовательно:

а) для любых ;

б) для любых ;

в) для любых .

Пусть– ограниченная функция. Тогда функция, определенная по формуле

(17)

является равномерно ограниченной.

Пусть и , а определена формулой:

(18)

Заметим, что соотношение Чепмена-Колмогорова в данном случае будет иметь вид:

(19)

Обозначим через - мощность множества.

Нам понадобятся также следующие обозначения:

i) - матрица размера с элементами;

ii) -мерный вектор (-столбец), компонентами которого являются;

iii) -мерный вектор с компонентами ;

iv) - транспонированная матрица ;

v) - мерный вектор-строка с компонентами .

Тогда (17) – (19) можно переписать в виде:

,

5.2. Займемся теперь выводом обратного и прямого уравнений Колмогорова соответствующих МПШ с конечным или счетным числом состояний.

5.2.1. Пусть - множество такое, что для любой последовательности из существуют пределы:

1) для ;

2)

где– символ Кронекера.

Если, для каждой пары, существует конечный предел

(20)

то ясно, что содержит такие последовательности , для которых и

(21)

Заметим, что если существует предел (20), то имеем:

1) если, то для любых справедливо неравенство (так как);

2) если , то для любых следует, что, вытекающее из того факта, что , где;

3) для любых, вытекающее из неравенства:

где. Таким образом, мы приходим к следующему утверждению:

Теорема 2.

Пусть для любых существует предел: и Тогда дифференцируема по и удовлетворяет обратным уравнениям Колмогорова:

(22) Доказательство. В силу условий теоремы и соотношения Чепмена-Колмогорова, имеем

Отсюда следует, что:

Доказательство закончено.

5.2.2. Аналогичным образом можно вывести прямые уравнения Колмогорова.

Пусть Из (19) следует, что при справедливо равенство

. (23)

Переходя к пределу когда и в (23), имеем

(23a)

Из (23a), в частности, следует, что для

удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова

(24) 5.2.3. Замечания. 1) В §14 главы 3 мы уже вывели прямое уравнение Колмогорова (23) при более слабых предположениях, опираясь на теорию точечных случайных процессов.

2) В §15 главы 3 нами были получены условия разрешимости уравнения Колмогорова (23).

5.3. Приведем без доказательства один результат, касающийся однородных МПШ с конечным или счетным числом состояний.

Теорема 3. Пусть – однородный МПШ с конечным или счетным числом состояний. Тогда существуют конечные или бесконечные пределы

причем, 1) если, то – конечно; 2) либо конечно, либо;

3)

Замечание. Для однородных МПШ с конечным или счетным числом состояний с помощью матрицы размера можно произвести следующую классификацию состояний:

1) состояние i называется мгновенным, если , в противном случае (т.е. ), его называют задерживающим;

2) состояние i называют регулярным, если (нерегулярным, если ), причем, если все состояния регулярны, то однородный МПШ называется консервативным.

<< | >>
Источник: Теория случайных процессов. Лекция. 2017

Еще по теме §5. МПШ с конечным или счетным числом состояний.:

  1. О СМЫСЛЕ ЧИСЕЛ
  2. ГОРГИЙ
  3. политик   Сократ, Феодор, Чужеземец, Сократ-младший
  4. ПРЕДИСЛОВИЕ
  5. Нотариат по данным частных актов
  6. § 2. Понятие и формы торгов по продаже земельных участков или права их аренды
  7. КНИГА ТРЕТЬЯ
  8. Вместе с тем принятое в своде 1832 года выражение "крестьяне казенные", заменено названием государственных крестьян или поселян, употребляемым во всех новейших законах и в особенности в уставах, изданных Министерством государственных имуществ.
  9. Разработка нового устава почтового была возложена на министра внутренних дел еще высочайшим повелением 23 октября 1870 года (П. С. З. N 48837), для чего была составлена особая комиссия.
  10. Примечания
  11. Организация губернского управления
  12. ВОЗРОЖДЕНИЕ
  13. Сократ, Феодор, Чужеземец, Сократ младший
  14. Введение
  15. 4. СТАДИЯ ПОЗДНЕПЕРВОБЫТНОЙ ОБЩИНЫ
  16. §11 Разрешимость системы уравнений Колмогорова для процессов с конечным или счетным числом состояний.
  17. §14 Случайные меры и мультивариантные точечные процессы.
  18. §15 Абсолютная непрерывность вероятностных мер, соответствующих скачкообразным процессам.
  19. §5. МПШ с конечным или счетным числом состояний.
  20. КНИГА ЧЕТВЕРТАЯ ПОБУЖДЕНИЕ K ИНВЕСТИРОВАНИЮ