§5. МПШ с конечным или счетным числом состояний.

5.1. Пусть – конечное или счетное множество, причем будем использовать обозначения.

Очевидно, что Следовательно:

а) для любых ;

б) для любых ;

в) для любых .

Пусть– ограниченная функция. Тогда функция, определенная по формуле

(17)

является равномерно ограниченной.

Пусть и , а определена формулой:

(18)

Заметим, что соотношение Чепмена-Колмогорова в данном случае будет иметь вид:

(19)

Обозначим через - мощность множества.

i) - матрица размера с элементами;

ii) -мерный вектор (-столбец), компонентами которого являются;

iii) -мерный вектор с компонентами ;

iv) - транспонированная матрица ;

v) - мерный вектор-строка с компонентами .

Тогда (17) – (19) можно переписать в виде:

,

5.2. Займемся теперь выводом обратного и прямого уравнений Колмогорова соответствующих МПШ с конечным или счетным числом состояний.

5.2.1. Пусть - множество такое, что для любой последовательности из существуют пределы:

1) для ;

2)

где– символ Кронекера.

Если, для каждой пары, существует конечный предел

(20)

то ясно, что содержит такие последовательности , для которых и

(21)

Заметим, что если существует предел (20), то имеем:

1) если, то для любых справедливо неравенство (так как);

2) если , то для любых следует, что, вытекающее из того факта, что , где;

3) для любых, вытекающее из неравенства:

где. Таким образом, мы приходим к следующему утверждению:

Теорема 2.

(22) Доказательство. В силу условий теоремы и соотношения Чепмена-Колмогорова, имеем

Отсюда следует, что:

Доказательство закончено.

5.2.2. Аналогичным образом можно вывести прямые уравнения Колмогорова.

Пусть Из (19) следует, что при справедливо равенство

. (23)

Переходя к пределу когда и в (23), имеем

(23a)

Из (23a), в частности, следует, что для

удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова

(24) 5.2.3. Замечания. 1) В §14 главы 3 мы уже вывели прямое уравнение Колмогорова (23) при более слабых предположениях, опираясь на теорию точечных случайных процессов.

5.3. Приведем без доказательства один результат, касающийся однородных МПШ с конечным или счетным числом состояний.

Теорема 3. Пусть – однородный МПШ с конечным или счетным числом состояний. Тогда существуют конечные или бесконечные пределы

причем, 1) если, то – конечно; 2) либо конечно, либо;

3)

Замечание. Для однородных МПШ с конечным или счетным числом состояний с помощью матрицы размера можно произвести следующую классификацию состояний:

1) состояние i называется мгновенным, если , в противном случае (т.е. ), его называют задерживающим;

2) состояние i называют регулярным, если (нерегулярным, если ), причем, если все состояния регулярны, то однородный МПШ называется консервативным.