§8. Уравнения Колмогорова.

8.1. В данном параграфе мы установим связь между стохастическими уравнениями и задачей Коши для уравнений в частных производных второго порядка параболического типа, которые соответствуют прямому и обратному уравнениям Колмогорова.

8.2. В данном пункте мы выведем обратное уравнение Колмогорова.

Через обозначим пространство функций, определённых на , со значениями в , один раз дифференцируемых по и два раза по , причём эти производные непрерывны и ограничены.

Теорема 20. Пусть - единственное сильное решение стохастического уравнения (22), коэффициенты которого непрерывны по совокупности переменных. Пусть , , причём. Тогда удовлетворяет уравнению

(41) 8.2.1. Доказательство теоремы опирается на вспомогательное утверждение.

Лемма 21. Пусть - квадратично интегрируемый мартингал, допускающий представление

, (42)

где – неупреждающий процесс такой, что Р - п.

Тогда Р - п. н. .

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что Р - п. н. . Пусть - разбиение отрезка такое, что .

Очевидно, что . Так как ,

то .

Но Р - п. н. и при Р - п. н. . Следовательно . Доказательство закончено.

8.2.2. Доказательство теоремы 20. Так как удовлетворяет стохастическому уравнению (36), а , то к можно применить формулу Ито, имеем

(43) Заметим, что в силу марковского свойства процесс является мартингалом относительно меры Р. Кроме того, стохастический интеграл является мартингалом относительно меры Р.

. (44)

В силу условий теоремы и непрерывности процесса по можно осуществить предельный переход равенстве (44) при. В результате уравнение (41). Осталось отметить, что . Доказательство закончено.

8.3. В данном пункте мы выведем прямое уравнение Колмогорова, соответствующее стохастическому уравнению (22).

Теорема 22. Пусть выполнены условия теоремы 19. Пусть для любого существует плотность распределения, обозначаемая через. Кроме того, пусть существуют производные , , для любых . Тогда плотность распределения удовлетворяет уравнению

(45) 8.3.1. Замечание. Уравнение (45) обычно называют уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова.

8.3.2. Доказательство теоремы 22. Пусть - бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем [13], а - единственное сильное решение стохастического уравнения (22). В силу формулы Ито, имеем Р - п. н.

(46)

Возьмем математическое ожидание относительно левой и правой частей (46), учитывая свойства стохастических интегралов, имеем

.

В силу условий теоремы и теоремы Фубини последнее равенство можно переписать в виде

Положим для любого х. Кроме того, в силу формулы интегрирования по частям правая часть последнего равенства будет иметь вид (в силу свойств функции )

.

Отсюда, в силу произвольности функции получаем, что удовлетворяет уравнению (42). Доказательство закончено.