2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
Зафиксируем два линейных нормированных пространства 
и 
и будем рассматривать всевозможные линейные непрерывные операторы А, В, … действующие из Х в Y.
. Таким образом, совокупность всех операторов, действующих из Х в Y, есть линейное пространство. Более того, эта совокупность будет линейным нормированным пространством. В самом деле, для каждого оператора А определена норма этого оператора 
, являющаяся неотрицательным числом, и остаётся проверить лишь выполнение аксиом нормы. 1. Если А = 0, то 
для любого 
и потому 
.
Пусть, наоборот, 
. Тогда для любого 
, т. е. Ах = 0 для любого и 
.
2. 
и вторая аксиома нормы тоже выполняется.
3. Подобным же образом проверяется выполнение третьей аксиомы нормы:
Итак, совокупность всех линейных непрерывных операторов, действующих из X в Y, есть линейное нормированное пространство. Это пространство мы будем обозначать символом 
.
В частности, когда Y = R – множество вещественных (комплексных) чисел, это пространство называется пространством линейных непрерывных функционалов, определённых на X, или сопряжённым с X пространством, и обозначается X*.
Теорема 2. Если Y – полное пространство, то – пространство линейных ограниченных операторов будет также полным пространством и, следовательно, банаховым пространством.
Доказательство. Пусть 
и 
при 
, 
. Из обратного неравенства треугольника следует 
, т. е. 
есть сходящаяся и потому ограниченная числовая последовательность. Положим 
.
Возьмём любой элемент и рассмотрим последовательность 
.
при , . Так как Y – полное пространство, то существует элемент 
, являющийся пределом этой последовательности: 
. Таким образом, каждому ставится в соответствие один определенный , и мы приходим к оператору 
, действующему из X в Y. Этот оператор линейный:
,
.
Этот оператор также ограничен:
.
Следовательно, A – линейный непрерывный оператор.
Покажем, что 
в смысле сходимости по норме в пространстве 
. Из неравенства 
, 
, 
, будет следовать
(7)
при 
, 
и для любого 
.
. Тогда (7) в пределе дает 
при и так как это верно для любого x из единичного шара , то 
при , что и требовалось доказать.
Следствие. Пространство X*, сопряжённое с линейным нормированным пространством X, есть банахово пространство.
Рассмотренную только что сходимость по норме в пространстве операторов называют также равномерной сходимостью последовательности операторов, потому что в этом случае 
сходится к 
равномерно на любом шаре 
, как это следует из неравенства
.