<<
>>

Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости.

Опр 1. Система векторов называется линейно зависимой, если сущ. числа не все равные 0, такие что (1)

Система векторов называется линейно независимой, если равенство (1) возможно только в том случае, когда все числа =0

Выражение стоящее в левой части рав-ва (1) наз-ют линейной комбинацией векторов

Опр 2.

Система векторов является линейно зависимой, если существует линейная комбинация этих векторов с неравными 0 числами, которая тождественно равна.

Теор 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то данная система линейно зависима.

Док-во. Пусть , тогда

Теор 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить произвольный вектор , то вновь полученная система будет линейно зависима.

Док-во. Т.К. система векторов линейно зависима, то есть не все равные нулю, такие что (2) (3)

(4)

Есть ,

0 -не все равны нулю

Следовательно система линейно зависима.

Следствие. Если к линейно зависимой системе добавить любое кол-во векторов, то полученная система будет линейно зависима.

Теор. (О линейной зависимости двух векторов.)

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Док-во.

коллинеарны-коллинеарны

Теор. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны

Док-во.

Для и пл-ть , что (или //) и либо , либо // ей они компланарны.

Теор. В трехмерном пространстве любые 4 вектора линейно зависимы.

Док-во.

-угол между

Вектор в системе координат

Базис-максимальная упорядоченная

система линейно независимых векторов.

На плоскости 2 любых неколлинеарных вектора образуют базис.

ДПБ-базис, состоящий из ортогональных еденичных векторов.

Операции над векторами в координатной форме.

нач.точка-нач.точка кон.точка-кон.точка

направляющие косинусы

<< | >>
Источник: Лекции по Линейной алгебре. 2016

Еще по теме Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости.:

  1. 3.4 Аналитическое исследование эффективности алгоритма на модельной задаче
  2. 2.2.2 Определение размеров зон потенциального сбыта продукции
  3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАТРАТ
  4. СООТНОШЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ И РЕГУЛЯТИВНОЙ ФУНКЦИИ ФИЛОСОФСКИХ ПРИНЦИПОВ в ФОРМИРОВАНИИ НОВОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
  5. § 56. Дифференциальные уравнения первого порядка.Основные понятия
  6. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  7. Содержание дисциплины
  8. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  9. 2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
  10. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).
  11. § 5. Вращательное движение твердых тел
  12. 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
  13. Линейная зависимость векторов,теоремы о линейной зависимости.
  14. Содержание
  15. Нелинейные модели оптимизации в управлении
  16. Гильбертовы пространства
  17. 1. Линейные пространства. Нормированные пространства. Метрика, порожденная нормой. Ряды в нормированных пространствах. Абсолютная сходимость ряда и полнота нормированного пространства. Факторпространства
  18. 3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.