<<
>>

3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.

Следующие теоремы составляют содержание теории Рисса – Шаудера (в упрощенном варианте), являющейся обобщением фредгольмовской теории интегральных уравнений.

Теорема 5 (первая теорема Фредгольма).

Пусть А – ли­нейный вполне непрерывный оператор в банаховом простран­стве X. Следующие четыре утверждения эквивалентны:

а) уравнение (3) имеет решение при любой правой части у;

b) уравнение (4) имеет только тривиальное решение;

c) уравнение (3*) имеет решение при любой правой частит;

d) уравнение (4*) имеет только тривиальное решение.

Если выполнено одно из условий а), b), c), d), то операторы I – A и I – А* непрерывно обратимы.

Доказательство проведем по схеме а) ? b) ? c) ? d) ? а).

I. a) ? b). Дано R(I – А) = Х, т. е. множество значений оператора I – А совпадает с X. Допустим, что b) не выполнено, т. е. подпространство нулей оператора I – A нетривиально:

N1 = {x Î X: x – Ax = 0} ? {0}.

Пусть x1ÎN1 и x1 ? 0. Рассмотрим уравнение (I– А)х =x1. По условию а) оно имеет решения. Пусть х2 – одно из них. Имеем (I – А)2х2 = (I – A)x1 = 0, т. e х2 Î N2 = {x Î X: (I - А)2х = 0}, причем N1 Ì N2 и включение строгое, так как x2 ÎN2, но х2 Ï N1, иначе оказалось бы, что x1 = 0. Продолжая эти рассуждения, получим цепочку подпространств

N1 Ì N2 Ì … Ì Nn Ì Nn+1 Ì …

строго включенных друг в друга. По лемме Рисса о почти перпендикуляре в каждом Nn найдется элемент zn та­кой, что ||zn||= 1 и ||x - zn|| ? 1/2 для всех x Î Nn – 1, n = 2,3, ... Рассмотрим последовательность {Azn}.

Она компактна, ибо А вполне непрерывен, а {zn} ограничена. С другой стороны, при m > n

||Azm – Azn|| = ||[zn – (I – A)zn + (I – A)zm] – zm|| ? ½,

ибо

zn - (I- A)zn + (I - A)zm Î Nm - 1

так как

(I – A)m - 1 [zn - (I- A)zn + (I - A)zm] = (I – A)m - 1zn - (I- A)mzn + (I - A)mzm] = 0

(все слагаемые – нули, ибо (I – A)kzi = 0 при k? i. Итак, с одной стороны, {Azn} компактна, а с другой ||Azm – Azn|| > 1/2. Полученное противоречие показывает, что допущение N(I - А)?{0} неверно. I доказано.

II. b) ? c) Дано N(I - А) = {0}. Нужно доказать, что R(I– А*) = Х*. Возьмем любой f Î Х* и рассмотрим выражение f((I – А)х). Оно определяет линейный ограниченный функционал jÎ X*. Действительно, это выражение определено на X, линейно по х и ограничено. Наконец, самое важное, оно однозначно по х: если f((I - А)х) = f((I - A)х"), то f((I – А) (х' – х")) = 0, откуда, вследствие произвольности f, (I - A) (х' – х") = 0, но N(I - A) = {0}, и, значит, х' = х". Таким образом, f((I - А)х) = j(х), т. е. всякий f Î X* при­надлежит также и R((I – А*)), т. е. c) доказано.

III. c) ? d). Эта часть доказательства совпадает с I. Нужно лишь в I A заменить на А*.

IV. d) ? а). Дано N((I – А)*) = {0}. Надо доказать, что R(I – А) = Х. Допустим противное, что R(I – A) ? Х. По только, что доказанной теореме R(I – А) – подпространство в X. Пусть у0 Î Х и у0 Ï R(I - А). По следствию из теоремы Хана–Банаха най­дется f0 Î X* такой, что f0(у0) = 1, и f0(у) = 0 для всех y ÎR(I – А). Но тогда f0((I - А)х) = 0 для всех х ÎХ, или aх, (I - А)*f0ñ = 0 и из произвольности х имеем (I - A)*f0 = 0, т.е.

f0N((I - A)*) и f0 ? 0. Полученное противоречие пока­зывает, что верно а).

V. Если выполнено одно из условий а), b), c). d), то по I–IV выполнены и все остальные, но тогда; N((I - A)) = {0}, т.е. I - A обратим; R(I - A) = X, и, значит, по теореме Банаха об обратном операторе I - A непрерывно обратим. То же для А*. Теорема полностью доказана.

Теорема 6 (вторая теорема Фредгольма). Пусть А – ли­нейный вполне непрерывный оператор в X. Тогда уравнения (4) и (4*) имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.

Доказательство. Мы уже видели, что если N(I - A) = {0}, то и N((I - А)*) = {0}, и наоборот (1 теорема Фредгольма). Пусть теперь эти подпространства не нулевые. Докажем сна­чала их конечномерность. Пусть М – произвольное ограничен­ное множество, лежащее в N(I – A); тогда М = AM. Отсюда М компактно. Получилось, что в N(I - A) каждое ограниченное множество компактно. По теореме Рисса о локальной компактности N(I – A) конечномерно. Аналогично, дело обстоит N((I – A)*).

Перейдем к доказательству равенства dimN(I - A) = dim(I - А)* размерностей подпространств нулей операторов (I – A) и (I – A)*. Допустим противное, что, например,

dim N (I - А) = n < m = dim N((I - A)*).

Пусть {ji}1n базис в N(I – А). По следствию из теоремы Хана – Банаха существует система функционалов {gi}1n Ì X*: gi(jj) = dij (биортогональная система) i, j = 1, ..., n. Пусть, далее, {yi}1n – базис в N((I – А)*), а {zi}1n Ì X – биортогональная к нему система элементов: yi(zj) = dij, i, j = 1, 2, ..., n. Рассмотрим оператор I – В, где

(5)

Оператор В вполне непрерывен, как сумма двух вполне непре­рывных операторов – оператора А и конечномерного оператора.

Далее, докажем, что N(I - В) = {0}. Действительно, уравнение х – Вх = 0 записывается согласно (5) так:

(6)

Применяя к обеим его частям функционал yk, получим

(6)

Мы воспользовались тем, что ykÎ N((I – А)*), и биортогональ­ностью систем {yi} и {zi}. Так как k произвольно, то все gk(х) = 0 и (5) принимает вид х – Ах = 0. Это означает, что xÎN(I - A), т. е.

(7)

Применим к обеим частям этого равенства функционал gi и, пользуясь биортогональностью систем {ji}, {gi} и тем, что gi(x) = 0, получим xi = 0. Так как i произвольно, то х = 0. Итак, N(I - В) = {0}.

Нетрудно убедиться (проверьте!), что

.

Тогда (I – В)*ys = (I – A*)ys - = 0 при s > n, ибо ys Î N((I - В)*), и azi, ysñ = 0, при n < s. Оказалось, что N((I – В)*) ? {0}, а это противоречит теореме 2. Следователь­но, предположение п < m неверно. Аналогичное доказательство проводится в случае п > m с заменой A на A*. Теорема дока­зана.

Теорема 7 (третья теорема Фредгольма). Пусть А – ли­нейный вполне непрерывный оператор в X. Для того, чтобы уравнение (3) имело хоть одно решение, необходимо и доста­точно, чтобы для любого решения y уравнения (4*) выполня­лось условие aу, yñ = 0.

Доказательство. Если N(I - A) = {0}, то N((I - A)*) = {0} и утверждение теоремы тривиально. Пусть N(I - A) ? {0}. Если уравнение (3) имеет решение х0, то для всякого yÎN((I - А)*) имеем

aу, yñ = a(I - А) х0, yñ = aх0, (I – A)*yñ = 0.

Обратно, пусть aу, yñ = 0 для всех yÎN((I - А)*). Допу­стим, что (3) при данном у решений не имеет, т. е. уÏR(I - А). Заметим, что R(A) замкнуто по теореме о замкнутости области значений непрерывного оператора. По следствию из теоремы Хана – Банаха существует f ÎX* такой, что f(y) = 1 и f((I - А)х) = 0 для любых хÎХ, но тогда ax, (I - A)*fñ = 0 и, вследствие произвольности х, (I - A)*f = 0, т. е. fÎN((I - A)*). Но тогда по условию теоремы f(у) = 0 ? 1. Получен­ное противоречие означает, что уравнение (3) разрешимо. Тео­рема доказана.

В заключение кратко резюмируем полученные результаты. Для уравнения (3) с вполне непрерывным оператором A воз­можны только три следующие ситуации:

1) оператор I – А непрерывно обратим, тогда (3) имеет при любой правой части у единственное решение х = (I – А)-1у;

2) N(I – А) ? {0}; если aу, yñ ? 0 хоть для одного решения y сопряженного однородного уравнения (4*), то (3) решений не имеет;

3) N(I – А) ? {0}; если aу, yñ = 0 для всех решений y урав­нения (4*), то общее решение уравнения (3) имеет вид х = хо - , где x0 – частное решение (3), {ji} – базис под­пространства решений уравнения (4), а n –размерность этого подпространства.

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.:

  1. 3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.