§ 9. Критерій Фредгольма.

Транспонуємо матрицю А заданої СЛАР і розглянемо однорідну систему з n рівнянь відносно m невідомих :

.

Така система називається спряженою однорідною системою для заданої СЛАР.

1.82. Теорема Фредгольма. Для того, щоб СЛАР була сумісною, необхідно і достатньо, щоб кожний розв’язок спряженої однорідної системи задовільняв рівнянню

,

де – вільні члени заданої СЛАР.

Достатність. Якщо умову виконано для всіх розв’язків спряженої системи то система рівнянь

розв’язків мати не може. Тому для неї ранг розширеної матриці більший за ранг матриці ситеми. Транспонуючи обидві матриці і враховуючи, що ранг матриці не змінюється при транспонуванні, отримуємо

З теореми 1.55 про ранг матриці слідує, що стрічка не є лінійною комбінацією стрічок розширеної матриці заданої СЛАР

і тому стрічка такого вигляду не може входити в спрощений вигляд такої матриці, отже на основі наслідку теореми Кронекера-Капеллі робимо висновок, що задана СЛАР сумісна.

Необхідність умови буде встановлена, якщо зробити припущення, що умова теореми не виконана і на основі цього прийти до висновку, що задана СЛАР несумісна.

Нехай існує розв’язок спряженої системи, для якого . Помножимо кожне рівняння заданої СЛАР на числа відповідно і додамо їх. Ми отримаємо рівняння , яке не має розв’язків.

1.83. Приклад. Застосуємо теорему Фредгольма для отримання умови паралельності прямих на площині. Система

не має розв’язків, якщо існують такі числа та , що , , але . Видно, що та відмінні від нуля, тому можна покласти i записати отриману умову таким чином, що існує число таке, що , і .