§ 10. Знаходження розв’язків СЛАР.
Вважаємо, що задана сумісна система з m лінійних рівнянь відносно n невідомих. Нехай r – ранг матриці. Оскільки ранг розширеної матриці також дорівнює r, ми виберемо базисний мінор розширеної матриці таким чином, щоб він був розташований в основній матриці системи.
Застосовуючи елементарні перетворення стрічок, приведемо розширену матрицю до спрощеного вигляду і дана нам СЛАР згідно тому, що елементарні перетворення стрічок розширеної матриці системи відповідають перетворенню СЛАР в еквівалентну систему, переходить в еквівалентну систему з r лінійно незалежних рівнянь. Будемо вважати, що базисний мінор розташований в перших стовпчиках. Тоді перетворену систему можна записати у вигляді
Тут 
- елементи перетвореної розширеної матриці. В лівих частинах рівності ми залишили невідомі 
, які відповідають стовпчикам вибраного базисного мінора, які називаються базисними невідомими, інші невідомі – 
, які називають параметричними невідомими, перенесено в праві частини рівностей. Очевидно, що присвоївши параметричним невідомим певні довільні значення, знаходимо певні значення базисних змінних, тобто базисні і параметричні невідомі утворюють розв’язок заданої СЛАР.
Тепер очевидно, що якщо стовпчики основної матриці заданої СЛАР є лінійно незалежними і матриця при цьому є квадратною (як у випадку теореми Крамера), то система не може мати двох і більше різних розв’язків. Дійсно, з лінійної незалежності стовпчиків основної матриці слідує, що ранг матриці системи співпадає з кількістю невідомих, отже кількість базисних невідомих співпадає з кількістю невідомих, параметричних невідомих в цьому випадку немає, тому СЛАР має в цьому випадку єдиний розв’язок.