§ 29. Лінійна залежність та незалежність векторів у просторі Евкліда
3.46. Означення. Матрицею Грама системи векторів 
називають матрицю 
з елементами 
3.47.
Теорема. (Критерій лінійної залежності векторів у п-вимірному просторі Евкліда).Для того, щоб вектори системи були лінійно залежними, необхідно й достатньо, щоб визначник матриці Грама цієї системи дорівнював нулю.
3.48. Теорема. (Критерій лінійної незалежності векторів у n-вимірному просторі Евкліда).
Для того, щоб вектори системи були лінійно незалежними, необхідно й достатньо, щоб визначник матриці Грама цієї системи не дорівнював нулю.
Необхідність теореми 3.47: нехай вектори системи лінійно залежні. Тоді, існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, яка дорівнює нульовому вектору, тобто 
Скалярний добуток цієї лінійної комбінації на вектор 
системи дорівнює нулю, а отже 
Остання рівність є умовою лінійної залежності рядків матриці Грама. Якщо рядки матриці лінійно залежні, її визначник, як відомо, дорівнює нулю .
Необхідність теореми 3.48: нехай вектори системи лінійно незалежні. Сукупність усіх лінійних комбінацій векторів цієї системи є простором вимірності 
який називають лінійною оболонкою векторів системи (справедливість цього твердження читачеві корисно провести самостійно, виходячи з означення лінійного простору).
є базисом лінійної оболонки. За властивістю 3.40 матриця Грама будь-якого базису є додатньою, а отже, не дорівнює нулю . Достатність поданих вище теорем легко доводиться від супротивного. · Узагальнення нерівності Коші – Буняковського
Поєднання критеріїв лінійної залежності та незалежності векторів дозволяє сформулювати таке твердження:
визначник Грама будь-якої системи векторів невід'ємний 
причому
дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли вектори системи лінійно залежні.
Наведемо приклад, який показує, що подане твердження можна вважати узагальненням нерівності Коші – Буняковського.
3.49. Приклад. Розглянемо систему двох векторів. Для такої системи
Розкриваючи визначник, одержуємо нерівність
що збігається з нерівністю (3.3).