§ 29. Лінійна залежність та незалежність векторів у просторі Евкліда
3.46. Означення. Матрицею Грама системи векторів 
називають матрицю 
з елементами 
3.47.
Теорема. (Критерій лінійної залежності векторів у п-вимірному просторі Евкліда).Для того, щоб вектори системи були лінійно залежними, необхідно й достатньо, щоб визначник матриці Грама цієї системи дорівнював нулю.
3.48. Теорема. (Критерій лінійної незалежності векторів у n-вимірному просторі Евкліда).
Для того, щоб вектори системи були лінійно незалежними, необхідно й достатньо, щоб визначник матриці Грама цієї системи не дорівнював нулю.
Необхідність теореми 3.47: нехай вектори системи лінійно залежні. Тоді, існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, яка дорівнює нульовому вектору, тобто 
Скалярний добуток цієї лінійної комбінації на вектор 
системи дорівнює нулю, а отже 
Остання рівність є умовою лінійної залежності рядків матриці Грама. Якщо рядки матриці лінійно залежні, її визначник, як відомо, дорівнює нулю .
Необхідність теореми 3.48: нехай вектори системи лінійно незалежні. Сукупність усіх лінійних комбінацій векторів цієї системи є простором вимірності 
який називають лінійною оболонкою векторів системи (справедливість цього твердження читачеві корисно провести самостійно, виходячи з означення лінійного простору).
є базисом лінійної оболонки. За властивістю 3.40 матриця Грама будь-якого базису є додатньою, а отже, не дорівнює нулю . Достатність поданих вище теорем легко доводиться від супротивного. · Узагальнення нерівності Коші – Буняковського
Поєднання критеріїв лінійної залежності та незалежності векторів дозволяє сформулювати таке твердження:
визначник Грама будь-якої системи векторів невід'ємний 
причому
дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли вектори системи лінійно залежні.
Наведемо приклад, який показує, що подане твердження можна вважати узагальненням нерівності Коші – Буняковського.
3.49. Приклад. Розглянемо систему двох векторів. Для такої системи
Розкриваючи визначник, одержуємо нерівність
що збігається з нерівністю (3.3).
Еще по теме § 29. Лінійна залежність та незалежність векторів у просторі Евкліда:
- § 34. Добутки векторів у тривимірному просторі Евкліда
- § 20. Базис у скінченновимірному векторному просторі
- § 32. Векторний добуток геометричних векторів
- § 25. Скалярний добуток геометричних векторів
- § 43. Обчислення добутків векторів у криволінійних системах координат
- § 40. Фізичний базис та фізичні координати векторів
- § 18. Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних векторів
- § 27. Ортонормовані системи векторів
- § 35. Обчислення мішаних і векторних добутків векторів, заданих у довільних базисах
- § 17. Приклади лінійно залежних та лінійно незалежних векторів
- 3. Дія нормативних актів у просторі
- 6. Дія кримінально-процесуального закону в просторі, часі та щодо осіб
- § 2, Дія кримінально-процесуального закону в просторі, часі та щодо осіб
- § 2. Чинність закону про кримінальну відповідальність у просторі
- 6. КРИМІНАЛ ЬНО-ПРОЦЕСУАЛЬНИЙ ЗАКОН. ЙОГО ЧИННІСТЬ У ПРОСТОРІ, У ЧАСІ ТА ЩОДО ОСІБ
- § 33. Мішаний добуток та подвійний векторний добуток геометричних векторів
- Розділ IV Чинність закону про кримінальну відповідальність у часі та просторі
- Частина 4 ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ ТА ПОВ'ЯЗАНІ З НИМ ДОБУТКИ
- Фінансові потоки економічних агентів у фінансово-економічному просторі
- 5. Дія кримінального закону у часі, просторі, за колом осіб. Зворотна сила кримінального закону.