§ 20. Базис у скінченновимірному векторному просторі
2.43. Означення. Базисом у n-вимірному векторному просторі називають впорядковану систему n лінійно незалежних векторів цього простору.
2.44. Приклад. У тривимірному просторі геометричних векторів найчастіше використовують для розв'язання конкретних задач базис, утворений попарно перпендикулярними векторами одиничної довжини i, j та k.
Ці вектори задовольняють означення базису, тому що а) їх кількість дорівнює вимірності простору; б) вони утворюють впорядковану сукупність: переставлення двох з них
або 
перетворює так звану "праву" трійку векторів на "ліву", і навпаки[5]; в) вони лінійно незалежні: будь-яка лінійна комбінація векторів j та k є вектором, який обов'язково належить площині (j, k), а значить, i не є лінійною комбінацією j та k; у такий саме спосіб переконуємося, що жоден з цих векторів не є лінійною комбінацією двох інших і критерій лінійної залежності не виконується. 2.45. Приклад. Як базис в арифметичному просторі, що складається з матриць порядку 
зручно використовувати вектори[6]
Згідно з правилами додавання матриць і множення матриці на число, довільний вектор арифметичного простору
(2.1)
можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів 
Вектор 
дорівнює нульовому вектору
, (2.2)
коли всі коефіцієнти xi дорівнюють нулю (див. приклад 2.10).
Звідси випливає, що вектори
лінійно незалежні, а система векторів 
лінійно залежна. Отже, вимірність простору матриць порядку дорівнює n, причому вектори утворюють базис у цьому просторі. 2.46. Приклад. Сукупність усіх дійсних матриць порядку 2ґ2 є чотиривимірним простором. Як базис можна обрати матриці
* * *
У подальшому будемо позначати систему базисних векторів у n-вимірному просторі як 
або подавати у вигляді матриці-рядка 
(Лінійні операції з матрицями, елементами яких є вектори, виконуються за тими ж правилами, що й операції з числовими матрицями). Надалі, якщо не вказано інше, будемо вважати, що всі індекси, які будуть зустрічатися, набувають значень від 1 до n.