§ 19. Вимірність векторного простору
2.38. Означення. Під вимірністю векторного простору будемо розуміти максимальну кількість лінійно незалежних векторів, які можна знайти в цьому просторі.
Іншими словами, у n-вимірному просторі обов'язково існують системи n лінійно незалежних векторів, а будь-які n + 1 векторів – лінійно залежні.
Дуже важливим (у тому числі для теоретичної фізики) є випадок, коли векторний простір має нескінченну вимірність. Це означає, що коли можливо знайти в такому просторі систему N лінійно незалежних векторів, у ньому завжди знайдеться вектор, який не буде лінійною комбінацією векторів цієї системи. На щастя, знання та навички, здобуті при вивченні просторів скінченої вимірності, дозволяють успішно розв'язувати й задачі, в яких використовується поняття нескінченно вимірного простору. Тому надалі будемо здебільшого розглядати векторні простори скінченої вимірності n і позначати їх 
.
2.39. Приклад. У нульовому просторі немає лінійно незалежних векторів (див. приклад 2.30), тому умовно вважають, що вимірність нульового простору дорівнює нулю.
2.40. Приклад. Множина всіх геометричних векторів на прямій лінії є одновимірним простором. Усі геометричні вектори на площині утворюють двовимірний простір. Множина всіх геометричних векторів, що вивчаються у шкільному курсі стереометрії, є тривимірним простором.
2.41. Приклад. Простір матриць порядку 
(див. приклад 2.10) має вимірність n і називається n-вимірним арифметичним простором.
Це буде доведено при розгляді прикладу 2.45.
2.42. Приклад. Простір функцій однієї змінної , означених і неперервних на відрізку 1,2, є нескінченновимірним векторним простором.
Щоб упевнитися в цьому, розглянемо систему N + 1 степеневих функцій 
N – будь-яке додатне ціле число[4]. Лінійна комбінація цих функцій (векторів) є поліномом
Нульовим вектором у просторі поліномів є поліном, усі коефіцієнти якого дорівнюють нулю (див. приклад 2.12), і іншого нульового вектора немає (наслідок 2.15). Отже, жодна з нетривіальних лінійних комбінацій 
не дорівнює нулю, а тому система N + 1 функцій 
лінійно незалежна. Таким чином, вимірність простору функцій однієї змінної , означених і неперервних на відрізку 1,2, перевищує будь-яке число N, тобто є нескінченною.