§ 13. Поняття вектора, означення векторного простору

У лінійній алгебрі вектор означається як елемент певної множини – векторного простору, який називають також лінійним простором. Сукупність математичних або фізичних об'єктів можна вважати векторним простором лише тоді, коли для неї є виконаними десять вимог, справедливість яких у кожному конкретному випадку перевіряють математичним або експериментальним шляхом.

2.1. Означення. Множину будемо називати векторним (або лінійним) простором, а її елементи – векторами (позначати вектори будемо жирними латинськими літерами), якщо:

I. [1]

II. [2]

III.

1)

2)

3)

4)

5)

6) (0 називають нейтральним елементом, або нульовим вектором);

7) ((–x) називають оберненим елементом до елементу x або оберненим вектором до вектора x),

8)

2.2. Зауваження. Операції додавання векторів та множення вектора на число називають лінійними операціями з векторами.

2.3. Зауваження. Суму векторів x та називають різницею векторів x та y і позначають

2.4. Зауваження. Аксіоми 1) – 5) є аналогом властивостей а) – д) операцій з геометричними векторами. Необхідність включення до означення 2.1 додаткових аксіом 6) – 7) пов'язана з тим, що елементи лінійного простору не завжди можна ототожнювати з геометричними векторами і зображати у вигляді стрілочок, тому нейтральний елемент простору неможливо означити геометрично, як точку, а протилежний (–x) – як стрілочку напрямлену проти стрілочки, що зображає елемент x. Отже, наявність нейтрального та протилежного елементів висувається у вигляді додаткових формальних вимог і перевіряється після того, як обрано для розгляду конкретну сукупність математичних об'єктів та означені правила лінійних операцій з ними.