§ 12. Вступні зауваження
Поняття вектора є одним із тих наукових понять, що вже давно перейшли зі спеціальних математичних, фізичних та технічних видань до повсякденного вжитку широкими верствами населення.
Згідно із загальновідомим означенням, вектори – це напрямлені відрізки прямої лінії на площині або в тривимірному геометричному просторі, сума яких визначається за правилом паралелограма. Саме так означається поняття вектора, наприклад, у шкільному курсі фізики, і вже в цьому курсі це геометричне за своєю суттю означення автоматично поширюється на велику кількість фізичних об'єктів різної природи – механічних сил та прискорень, напруженостей електричних та магнітних полів, магнітних моментів елементарних частинок тощо – і при цьому завжди виходить, що сумою двох сил є третя сила, сумою прискорень у двох різних напрямках є прискорення в третьому напрямку, а сумою електричних полів, що утворюються двома електричними зарядами, є, знову ж таки, електричне поле, а не якась інша фізична величина. (Згадайте відомий досвід зі шкільного курсу фізики, в якому перевіряється, що сума двох сил є силою. Схему цього досвіду наведено на рис. 1).
Рис. 1. Три пружинні динамометри підключено до спільної точки. Сили f1 – f3, що діють на динамометри, підібрано так, щоб зображена механічна система перебувала в рівновазі. У цьому разі f1 + f2 = f3
Оскільки при розв'язанні багатьох задач дуже зручно зображати векторні величини різної фізичної природи у вигляді напрямлених відрізків (стрілочок) на рисунках та графіках, фізики, за аналогією з геометричним простором, почали вживати уявлення про "простір сил", "простір механічних імпульсів" та ін. Математики узагальнили всі ці уявлення, ввівши до розгляду поняття векторного простору як сукупності елементів (названих векторами), для яких означено такі правила додавання й множення на число, які не виводять елементи за межі сукупності.
Таким чином, складаючи будь-які два елементи сукупності, або помноживши будь-який елемент на число, маємо одержати елемент приналежний до цієї ж сукупності; якщо ця вимога не виконана, сукупність елементів не є векторним простором.Щоб пояснити, чому до означення векторного простору включена вказана вище вимога, згадаємо відомий приклад двох вулиць з однобічним рухом, які перетинаються під прямим кутом (рис. 2). Припустимо, що на перехресті вулиць стоїть інспектор ДАІ й підраховує кількість автомашин, які проходять по кожній з них за одиницю часу. Нехай по першій вулиці за одиницю часу проходить а машин, а по другій – b машин. Потоки машин, що проходять крізь перехрестя за одиницю часу відповідають означенню геометричного вектора: кожен із них можна зобразити у вигляді відрізка прямої лінії довжиною а або b, відповідно, напрямленого вздовж відповідної вулиці. У такому разі можна скласти ці вектори й отримати вектор сумарного потоку 
, який дорівнює за величиною 
, і утворює діагональ прямокутника, побудованого на векторах a та b. Як легко помітити за допомогою рис. 1, якщо машини утворюють потік c, вони мають врізатися у споруду, побудовану на розі вулиць. Отже, сума потоків автомашин не завжди є потоком автомашин, і цей факт не можна ігнорувати (наприклад, при комп'ютерних розрахунках, спрямованих на оптимізацію дорожнього руху у великих містах).
Рис. 2
Тепер слід зазначити, що наведене вище означення векторного простору можна вважати вичерпним лише для тих векторних просторів, елементам яких можна поставити у відповідність вектори геометричного простору. Математики називають такі простори ізоморфними (у перекладі з грецької, подібними за будовою) до геометричного простору. Дійсно, якщо простір ізоморфний до геометричного, сума його елементів легко визначається шляхом додавання відповідних геометричних векторів за правилом паралелограма, а множення елементу на число l виконується шляхом зміни довжини відповідного геометричного вектора в l разів.
Це робиться так легко і природно, що школярі, коли розв'язують задачу, наприклад, про човен у річці, навіть і не згадують про те, що вектор швидкості човна не є геометричним вектором, що його величина (яка дорівнює, припустимо, 5 км/год) лише умовно зображується стрілочкою завдовжки в п'ять клітинок шкільного зошита, і що цим встановлюється відповідність між елементами простору швидкостей та геометричного простору.Між тим, у ході математичних досліджень було помічено, що поняття векторного простору можна поширити і на такі сукупності математичних об'єктів, які в жодному разі неможливо ототожнити з геометричними векторами. Для цього лише потрібно, щоб існувала аналогія між математичними діями, що виконуються з цими об'єктами, та операціями додавання геометричних векторів і множення їх на скаляр, яким притаманні такі основні властивості
а) комутативність додавання векторів: 
;
б) асоціативність додавання векторів: 
;
в) асоціативність множення вектора на число: 
;
г) дистрибутивність множення вектора на число відносно вектора:
;
д) дистрибутивність множення вектора на число відносно числа:
.
Ці властивості легко доводяться за допомогою простих геометричних побудов і саме вони покладені в основу загального аксіоматичного означення векторного простору.