§ 40. Фізичний базис та фізичні координати векторів

5.37. Означення. Фізичним контраваріантним базисом називають трійку векторів (без підсумовування за і)[18].

5.38. Означення. Фізичним коваріантним базисом називають трійку векторів (без підсумовування за і).

5.39. Зауваження. За означенням, вектори фізичного базису мають одиничну довжину для кожної точки області , тобто вони є ортами.

5.40. Зауваження. Оскільки то орти фізичного базису зазвичай означають формулами

(5.19)

де – діагональні елементи матриці Грама  базису (або двічі коваріантного метричного тензора), а – діагональні елементи матриці (або двічі контраваріантного метричного тензора), підсумовування за індексом і немає.

5.41. Властивість. Орти фізичних та прямокутного декартового базисів пов'язані такими співвідношеннями

(5.20)

(підсумовування за індексом і немає).

 Випливає з (5.17) та (5.19).

5.42. Означення. Координати вектора а у фізичному контраваріантному базисі називають контраваріантними фізичними координатами цього вектора.

5.43.

5.44. Властивість. Фізичні координати вектора пов'язані з його координатами в довільному локальному базисі такими співвідношеннями:

(5.21)

(без підсумовування за і).

 Вектор а може бути розкладений у локальному базисі вектори якого пов'язані з ортами фізичного базису співвідношеннями (5.19). Тому,

З іншого боку, вектор а може бути розкладений безпосередньо у фізичному базисі: Отже, тобто З огляду на лінійну незалежність базисних векторів звідси випливає перша з рівностей (5.21). Друга з них доводиться аналогічно.

5.45. Властивість. Фізичні координати вектора пов'язані з його координатами в прямокутному декартовому базисі такими співвідношеннями:

(5.22)

(підсумовування за індексом і немає).

 Випливає з (5.17) та (5.19).