§ 40. Фізичний базис та фізичні координати векторів
5.37. Означення. Фізичним контраваріантним базисом називають трійку векторів 
(без підсумовування за і)[18].
5.38. Означення. Фізичним коваріантним базисом називають трійку векторів 
(без підсумовування за і).
5.39. Зауваження. За означенням, вектори фізичного базису мають одиничну довжину для кожної точки області 
, тобто вони є ортами.
5.40. Зауваження. Оскільки 
то орти фізичного базису зазвичай означають формулами
(5.19)
де 
– діагональні елементи матриці Грама базису 
(або двічі коваріантного метричного тензора), а 
– діагональні елементи матриці 
(або двічі контраваріантного метричного тензора), підсумовування за індексом і немає.
5.41. Властивість. Орти фізичних та прямокутного декартового базисів пов'язані такими співвідношеннями
(5.20)
(підсумовування за індексом і немає).
Випливає з (5.17) та (5.19).
5.42. Означення. Координати 
вектора а у фізичному контраваріантному базисі називають контраваріантними фізичними координатами цього вектора.
5.43.
Означення. Координати
вектора а у фізичному коваріантному базисі називають коваріантними фізичними координатами цього вектора. 5.44. Властивість. Фізичні координати вектора 
пов'язані з його координатами в довільному локальному базисі 
такими співвідношеннями:
(5.21)
(без підсумовування за і).
Вектор а може бути розкладений у локальному базисі 
вектори якого пов'язані з ортами фізичного базису співвідношеннями (5.19). Тому,
З іншого боку, вектор а може бути розкладений безпосередньо у фізичному базисі: 
Отже, 
тобто 
З огляду на лінійну незалежність базисних векторів звідси випливає перша з рівностей (5.21). Друга з них доводиться аналогічно.
5.45. Властивість. Фізичні координати вектора пов'язані з його координатами в прямокутному декартовому базисі 
такими співвідношеннями:
(5.22)
(підсумовування за індексом і немає).
Випливає з (5.17) та (5.19).