§ 23. Заміна базису

Розглянемо два базиси та у просторі .

(2.5)

де – j-та координата i-го штрихованого базисного вектора в нештрихованому базисі.

2.55. Означення. Квадратну матрицю T з елементами називають матрицею переходу від базису до базису

Порядок матриці переходу вочевидь дорівнює вимірності простору. Співвідношення (2.5) між векторами двох різних базисів зручно подати у матричній формі:

(2.6)

Зазначимо найважливіші властивості матриці переходу.

2.56. Властивість. j-й стовпчик матриці переходу є координатним стовпчиком базисного вектора у базисі

 Випливає з означення 2.43.

2.57. Властивість. Матриця переходу є невиродженою (неособливою) матрицею.

 Матрицю T з елементами називають невиродженою (неособливою), коли існує обернена матриця з елементами ( – алгебраїчне доповнення елементу , – визначник матриці переходу). Отже, щоб довести дане твердження, досить довести, що визначник матриці переходу не дорівнює нулю. Для цього згадаємо, що необхідна й достатня умова рівності детермінанта нулю полягає в лінійній залежності стовпчиків відповідної матриці. Для ця умова не виконана, оскільки з лінійної незалежності базисних векторів наслідку 2.53 та властивості 2.56 випливає лінійна незалежність стовпчиків матриці T.

2.58. Властивість. Послідовне перетворення базисів рівносильне перетворенню з матрицею

 Доведення цього твердження читачеві корисно провести самостійно, виходячи з виразу (2.6).

2.59. Властивість.

(2.7)

 Доведення: з (2.6) випливає, що а отже, Зваживши на те, що де Е – одинична матриця, одержуємо рівність (2.7).

Тепер є все необхідне, щоб розв'язати поставлену задачу про співвідношення між координатами та вектора x у двох різних базисах. У першому базисі а у другому

Таким чином,

(2.8)

Водночас з (2.7) випливає, що

(2.9)

Порівнявши вирази (2.8) та (2.9), знаходимо шукане співвідношення:

(2.10)

Результат (2.1) може бути поданий у вигляді теореми.

2.60. Теорема. Перетворення координат вектора здійснюється за допомогою матриці оберненої до матриці переходу Т.

* * *

2.61. Теорема. Нехай задано певний базис . Кожна невироджена матриця T є матрицею переходу від цього базису до деякого базису (В окремому випадку, коли T – одинична матриця, ).

 Доведення теореми базується на тому, що детермінант невиродженої матриці не дорівнює нулю, а отже, її стовпчики лінійно незалежні й їх можна вважати координатними стовпчиками лінійно незалежних векторів про які йдеться в умові теореми.

2.62. Зауваження. Формули (2.5) і (2.6) можна розглядати з одного боку, як співвідношення між векторами двох заданих базисів ("пасивна" точка зору або точка зору "alias"), а з іншого боку, як правило, за яким базис перетворюється на базис причому це правило формалізується матрицею T ("активна" точка зору або точка зору "alibі"). Точка зору alibi впритул підводить до поняття лінійного оператора[8], яке часто зустрічається в різних розділах математики та фізики.