§ 23. Заміна базису
Розглянемо два базиси 
та 
у просторі 
.
вектора x у базисі знайти координати 
цього ж самого вектора у базисі 
Щоб розв'язати цю задачу, скористуємось тим, що кожен з векторів штрихованого базису, як і будь-який вектор простору , може бути розкладений у базисі : 
(2.5)
де 
– j-та координата i-го штрихованого базисного вектора в нештрихованому базисі.
2.55. Означення. Квадратну матрицю T з елементами називають матрицею переходу від базису до базису 
Порядок матриці переходу вочевидь дорівнює вимірності простору. Співвідношення (2.5) між векторами двох різних базисів зручно подати у матричній формі:
(2.6)
Зазначимо найважливіші властивості матриці переходу.
2.56. Властивість. j-й стовпчик матриці переходу є координатним стовпчиком 
базисного вектора 
у базисі 
Випливає з означення 2.43.
2.57. Властивість. Матриця переходу є невиродженою (неособливою) матрицею.
Матрицю T з елементами називають невиродженою (неособливою), коли існує обернена матриця 
з елементами 
(
– алгебраїчне доповнення елементу , 
– визначник матриці переходу). Отже, щоб довести дане твердження, досить довести, що визначник матриці переходу не дорівнює нулю. Для цього згадаємо, що необхідна й достатня умова рівності детермінанта нулю полягає в лінійній залежності стовпчиків відповідної матриці. Для ця умова не виконана, оскільки з лінійної незалежності базисних векторів 
наслідку 2.53 та властивості 2.56 випливає лінійна незалежність стовпчиків матриці T.
2.58. Властивість. Послідовне перетворення базисів 
рівносильне перетворенню 
з матрицею 
Доведення цього твердження читачеві корисно провести самостійно, виходячи з виразу (2.6).
2.59. Властивість.
Обернена заміна базису
здійснюється за допомогою матричної рівності 
(2.7)
Доведення: з (2.6) випливає, що 
а отже, 
Зваживши на те, що 
де Е – одинична матриця, одержуємо рівність (2.7).
Тепер є все необхідне, щоб розв'язати поставлену задачу про співвідношення між координатами та вектора x у двох різних базисах. У першому базисі 
а у другому 
Таким чином,
(2.8)
Водночас з (2.7) випливає, що
(2.9)
Порівнявши вирази (2.8) та (2.9), знаходимо шукане співвідношення:
(2.10)
Результат (2.1) може бути поданий у вигляді теореми.
2.60. Теорема. Перетворення координат вектора здійснюється за допомогою матриці оберненої до матриці переходу Т.
* * *
2.61. Теорема. Нехай задано певний базис . Кожна невироджена матриця T є матрицею переходу від цього базису до деякого базису (В окремому випадку, коли T – одинична матриця, 
).
Доведення теореми базується на тому, що детермінант невиродженої матриці не дорівнює нулю, а отже, її стовпчики лінійно незалежні й їх можна вважати координатними стовпчиками лінійно незалежних векторів 
про які йдеться в умові теореми.
2.62. Зауваження. Формули (2.5) і (2.6) можна розглядати з одного боку, як співвідношення між векторами двох заданих базисів ("пасивна" точка зору або точка зору "alias"), а з іншого боку, як правило, за яким базис перетворюється на базис причому це правило формалізується матрицею T ("активна" точка зору або точка зору "alibі"). Точка зору alibi впритул підводить до поняття лінійного оператора[8], яке часто зустрічається в різних розділах математики та фізики.