§ 22. Основні властивості координат вектора

2.48. Властивість. У заданому базисі кожному вектору відповідає один і лише один координатний стовпчик.

 Для доведення прямого твердження припустимо протилежне: нехай та Тоді Оскільки базисні вектори лінійно незалежні, а отже,

Доведення оберненого твердження є тривіальним.

2.49. Зауваження. У різних базисах одному й тому ж вектору відповідають різні координатні стовпчики.

Тепер бачимо, що в заданому базисі існує взаємно однозначна відповідність між векторами та координатними стовпчиками, а тому будь-яка рівність, що є справедливою для векторів, справджується також для відповідних координатних стовпчиків[7]. Звідси випливають такі наслідки.

2.50. Наслідок. Критерій рівності векторів: два вектори та дорівнюють один одному тоді й лише тоді, коли (Іншими словами, якщо вектори рівні, вони мають однакові координати в заданому базисі, і навпаки, якщо відповідні координати векторів однакові, ці вектори дорівнюють один одному).

2.51. Наслідок. Координатний стовпчик суми векторів дорівнює сумі координатних стовпчиків векторів-доданків:

2.52. Наслідок. Координатний стовпчик добутку вектора на число дорівнює добутку координатного стовпчика даного вектора на це число:

2.53. Наслідок. Для лінійної залежності векторів системи необхідно й достатньо, щоб їх координатні стовпчики були лінійно залежними.

2.54. Наслідок. Для лінійної незалежності векторів системи необхідно й достатньо, щоб їх координатні стовпчики були лінійно незалежними.