§ 30. Взаємні базиси

Розглянемо два базиси та у n-вимірному просторі Евкліда.

3.50. Означення. Базис називають взаємним до базису , якщо виконуються такі співвідношення:

(3.11)

Наведемо приклади для геометричних векторів на площині.

3.51. Приклад. Базисом взаємним до базису є базис тобто обидва базиси збігаються.

 Справді,



3.52. Приклад. Розглянемо ортогональний базис, що складається з векторів довільної довжини (рис. 5). Взаємний до нього базис складається з векторів напрямки яких збігаються з напрямками (відповідно), а довжини визначаються рівностями

Рис. 5

 Дійсно, у такому разі а оскільки 

3.53.

(3.12)

Рис. 6

Коефіцієнти розкладу є координатами векторів взаємного базису у вихідному базисі. Із співвідношень (3.11) випливає, що

Ці формули еквівалентні матричному рівнянню

(3.13 а)

Перший множник у лівій частині рівняння (3.13 а) є матрицею Грама  базису Оскільки, визначник матриці Грама будь-якого базису не дорівнює нулю, рівняння має розв'язок

який дозволяє записати такі вирази для векторів взаємного базису (3.12)

· Властивості взаємних базисів

3.54. Властивість. Для кожного базису існує один-єдиний взаємний базис.

 Розглянемо базис у просторі Евкліда. Будь-який вектор цього простору можна розкласти за векторами базису: Щоб вектори утворювали базис взаємний до розглядуваного, вони мають задовольняти співвідношення (3.11), тобто

або

(3.13 б)

Оскільки, базис заданий, співвідношення (3.13 б) є системою лінійних алгебраїчних рівнянь для координат векторів у цьому базисі, причому, коефіцієнти системи є відомими елементами матриці Грама цього базису.

3.55. Властивість. Якщо базис є взаємним до базису то й навпаки, базис є взаємним до .

 Випливає з симетрії співвідношень (3.11) відносно переставлення 

3.56. Властивість. Матриця Грама будь-якого базису є матрицею переходу від цього базису до взаємного йому.

 Нехай, як і раніше, є елементами матриці Грама, а – елементами матриці переходу. Тоді, .

3.57. Властивість. [13].

 Згідно з попередньою властивістю, тому



3.58. Властивість. Нехай  є матрицею Грама базису . Тоді матриця Грама взаємного базису ў є оберненою щодо .

 Нехай, як і раніше, матриця є матрицею переходу від до взаємного базису а матриця – матрицею зворотного переходу. Тоді, за властивістю 3.56 Отже, 

3.59. Властивість. Нехай базис є взаємним до а базис – взаємним до Якщо матриця є матрицею переходу від до то матриця переходу від до дорівнює

 Позначимо матрицю переходу від до як Тоді, З означення взаємного базису випливає, що

тобто Отже, 

Наведемо повне зведення формул перетворення базисних векторів поряд з еквівалентними формулами перетворення вектор-стовпчиків

та вектор-рядочків

Ці формули мають такий вигляд

(3.14)

(3.15)

(3.16) · Координати вектора у взаємних базисах

Координати вектора x у базисі будемо, як і в попередніх розділах, позначати символом і подавати у вигляді вектор-стовпчика , а у базисі – символом і об'єднувати у вектор-рядочок Тоді, розклад вектора x за векторами базису виглядатиме як

(3.17)

або

(3.18)

Утворивши скалярні добутки правих та лівих частин рівностей (3.17) і врахувавши, що одержуємо дуже зручні формули для визначення координат векторів

(3.19)

та формули Гібса[14] для розкладу вектора x за векторами базису. Ці формули мають такий вигляд

(3.20)

Встановимо зв'язок між координатами вектора в базисі та базисі взаємному до нього.

(3.21а)

У такий же спосіб знаходимо, що

(3.22а)

Ці ж формули часто записують у вигляді матричних співвідношень

(3.21б)

(3.22б)

Формули (3.17), (3.18), (3.21) та (3.22) ведуть до таких виразів для скалярного добутку двох векторів:

(3.23а)

або еквівалентних до них матричних співвідношень:

(3.23б)

Дуже важливими для розв'язання широкого кола задач є формули, що пов'язують між собою координати одного й того ж вектора у двох різних базисах. Одну з таких формул вже було знайдено (див. (2.10) у §12). Інші можуть бути знайдені у такий точно спосіб і записані у двох еквівалентних виглядах:

(3.24а)

або

(3.24б)

Корисно порівняти вирази (3.24) з формулами перетворення базисних ортів (3.15), які зараз доцільно переписати у такому порядку

(3.25 а)

(3.25 б)

Порівняння веде до такого висновку: координати перетворюються при заміні базису однаково (коваріантно) з ортами Водночас, якщо орти перетворюються на за допомогою елементів матриці Т, то координати перетворюються на за допомогою елементів оберненої матриці Тому кажуть, що величини перетворюються контраваріантно з ортами

3.60.

3.61. Означення. Базис називають контраваріантним, а взаємний до нього базис – коваріантним.

Згідно з виразами (3.17), контраваріантні координати є коефіцієнтами розкладу вектора в контраваріантному базисі, а коваріантні – у коваріантному, що і пояснює логіку даних означень.

3.62. Зауваження. Якщо контраваріантний базис є ортонормованим, то він збігається з коваріантним базисом , а отже, контраваріантні координати вектора в ортонормованому базисі не відрізняються від відповідних коваріантних координат:

3.63. Зауваження. Дотепер не згадувалось про такі важливі математичні об'єкти, як тензори, але зараз, для читачів, знайомих з поняттям тензора, зазначимо, що коваріантні координати вектора утворюють коваріантний тензор першого рангу, а контраваріантні координати – контраваріантний тензор першого рангу. Елементи матриці Грама утворюють два рази коваріантний метричний тензор, а елементи оберненої матриці складають два рази контраваріантний тензор. Символи Кронекера утворюють одиничний тензор або один раз коваріантний і один раз контраваріантний метричний тензор.