§ 31. Унітарний простір
У цьому розділі дамо означення скалярного добутку в комплексному векторному просторі та ознайомимося з його основними властивостями. При цьому, не будемо доводити наявність цих властивостей, оскільки доведення цілком подібні до тих, що були подані вище при розгляді простору Евкліда.
Домовимося в подальшому позначати операцію комплексного спряження лінією над символом, яким позначено число або числова функція, наприклад, число, комплексно спряжене до числа , позначатимемо
3.64. Означення. Комплексний n-вимірний простір називають унітарним (або ермітовим) і позначають Un, коли в ньому визначена операція скалярного добутку, тобто, будь-яким векторам x і y поставлено у відповідність комплексне число x Ч y і при цьому є виконаними такі вимоги (аксіоми):
1) 
2) 
3) 
4) 
Якщо порівняти подані аксіоми з аксіомами, що визначають поняття скалярного добутку в дійсному лінійному просторі, то легко помітити дві відмінності: по-перше, числа 
у випадку унітарного простору є комплексними, а по-друге, змінено першу аксіому: добуток 
дорівнює 
а не 
як це було в дійсному просторі. Завдяки цій зміні добуток елементу унітарного простору самого на себе є дійсним числом 
а отже, є змістовною четверта аксіома (якби число 
могло бути комплексним, його не можна було б вважати ані додатним, ані від'ємним)7.
3.65. Наслідок. 
3.66. Наслідок. 
3.67. Наслідок. 
· Приклади унітарних просторів
3.68. Приклад. Множина вектор-стовпчиків утворених з n комплексних чисел стає унітарним простором, якщо означити скалярний добуток стовпчиків 
та 
у такий спосіб:
3.69. Приклад. У просторі неперервних на відрізку 
комплексних функцій 
дійсної змінної , скалярним добутком можна вважати інтеграл від добутку двох функцій, тобто
Завдяки загальновідомим властивостям інтеграла означений у такий спосіб скалярний добуток задовольняє вимогам 1) – 4) означення 3.64.
3.70. Приклад. Розглянемо простір геометричних векторів на площині, у якому операція додавання векторів виконується за правилом трикутника, а операцію добутку вектора на число поширено на випадок комплексних чисел, причому, добутком вектора а з декартовими координатами 
на комплексне число 
є вектор b з координатами 
Неважко перевірити, що є виконаними всі аксіоми з означення лінійного простору. Скалярний добуток у цьому просторі можна означити виходячи з властивості 3.9, тобто записати:
При цьому, усі вимоги до скалярного добутку стають виконаними автоматично.
З Щодо застосувань у фізиці дуже зручним є запис скалярного добутку у так званих циркулярних координатах
та 
У цих координатах 
Підкреслимо, що введення в розгляд циркулярних координат стало можливим лише завдяки поширенню поняття добутку числа і вектора на випадок комплексних чисел. · Властивості унітарного простору
Поняття, що стосуються унітарних просторів та властивості цих просторів дуже близькі за змістом до понять і властивостей притаманних просторам Евкліда і досить докладно розглянутих вище. Тому, зараз лише нагадаємо їх у конспективній формі.
3.71. Означення. Довжина вектора 
є дійсним числом, яке визначається за формулою 
3.72. Означення. Величина кута 
між векторами 
визначається із рівняння
Отже, тригонометричні функції кута можуть набувати комплексних значень.
3.73. Властивість. Для будь-яких векторів справджується нерівність
3.74. Означення. Вектори х та у називаються ортогональними один до одного, коли 
3.75.
Властивість. Нульовий вектор це єдиний вектор, ортогональний до будь-якого вектора.3.76. Означення. Систему векторів 
у просторі вимірності 
називають ортонормованою, коли 
3.77. Властивість. До будь-якої системи лінійно незалежних векторів в унітарному просторі є застосовним процес ортогоналізації, описаний у § 16.
3.78. Властивість. У n-вимірному унітарному просторі існує ортонормований базис.
3.79. Означення. Матрицею Грама базису 
в унітарному просторі називають матрицю з елементами 
3.80. Властивість. Якщо 
то
(Тут використані такі ж позначення, як і раніше, при розгляді простору Евкліда).
3.81. Властивість. Якщо 
матриця переходу від нештрихованого базису до штрихованого, то
або 
, що є те ж саме.
3.82. Означення. Матрицю 
називають ермітівською, якщо 
тобто 
3.83. Властивість. Матриця Грама базису в унітарному просторі є ермітівською матрицею.
3.84. Властивість.
Визначник матриці Грама будь-якого базису
у Un пов'язаний з визначником матриці переходу від деякого ортонормованого базису до співвідношенням 
3.85. Властивість. Визначник матриці Грама будь-якого базису в унітарному просторі є додатним.
3.86. Властивість. Якщо Т – матриця переходу від одного ортонормованого базису в Un до іншого ортонормованого базису, то 
або, що те ж саме, 
3.87. Означення. Матриця А що задовольняє умову 
називається унітарною.
3.88. Властивість. Визначник унітарної матриці є комплексним числом за модулем рівним одиниці: 